Het probleem is dat ik niet meteen over het algemeen kan zeggen dat de versnelling van het puntje
\(a \frac{m}{s^2}\)
is, omdat dit volgens mij enkel te berekenen valt in 1 punt (de ogenblikkelijke snelheid waarmee het puntje zich verplaatst als het zich op
\(x\)
meter van het 'loodpunt' uit de laser op het grondvlak bevindt).
Dit valt als volgt te doen:
Noem in jouw tekening de draaihoek van de laser
\(\alpha\)
.
Stel, zoals jij zei,
\(\omega_\alpha=1\frac{rad}{s}\)
.
Gevraagd is dus met welke snelheid
\(x\)
, de afstand tussen twee punten op het oppervlak waarop de laser schijnt, toeneemt, voor
\(\omega_\alpha=1\frac{rad}{s}\)
.
De gegeven snelheid is dus
\(\omega_\alpha=\frac{d\alpha}{dt}=1\frac{rad}{s}\)
, terwijl de gevraagde snelheid
\(\frac{dx}{dt}\)
is.
Om de gevraagde snelheid te bepalen, zoeken we het verband tussen de grootheden waarvan de gegeven en gevraagde snelheid de afgeleide zijn; in dit geval zoeken we het verband tussen
\(\alpha\)
en
\(x\)
.
Omdat je in een rechthoekige driehoek werkt, geldt:
\(\sin{\alpha}=\frac{x}{y}\)
met
\(y\)
de afstand tussen de laser en het punt waarop het laserpuntje terechtkomt.
Omdat je hier met 3 veranderlijken zit - en je wilt er maar 2 hebben - wil je een van de veranderlijken in functie zetten van de ander; omdat je de snelheid wil weten waarmee
\(x\)
toeneemt, drukken we
\(y\)
uit in
\(x\)
, om dit vervolgens in bovenstaande formule te gebruiken.
Noem
\(h\)
de afstand tussen de pointer en het 'loodpunt' uit de pointer op het grondvlak.
Omdat je nu een rechthoekige driehoek hebt, geldt:
\(y=\sqrt{h^2+x^2}\)
.
Dit inbrengen in de formule voor
\(\sin{\alpha}\)
geeft:
\(\sin{\alpha}=\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}\)
. (h is geen veranderlijke: de afstand tussen de pointer en het grondvlak blijft immers gelijk)
Nu willen we deze vergelijking uitdrukken in en afleidan naar de tijd,
\(t\)
:
\(\sin{\alpha}(t)=\frac{x(t)}{\sqrt{[x(t)]^2+h^2}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{d\sin{\alpha}}{dt}(t)=\frac{\sqrt{[x(t)]^2+h^2}\cdot\frac{dx}{dt}(t)-x(t)\cdot\frac{2[x(t)]\cdot\frac{dx}{dt}(t)}{2\sqrt{[x(t)]^2+h^2}}}{[x(t)]^2+h^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{d\sin{\alpha}}{dt}(t)=\frac{\frac{dx}{dt}(t)\cdot\left(\sqrt{[x(t)]^2+h^2}-\frac{[x(t)]^2}{\sqrt{[x(t)]^2+h^2}}\right)}{[x(t)]^2+h^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{d\sin{\alpha}}{dt}(t)=\frac{\frac{dx}{dt}(t)\left(\frac{[x(t)]^2+h^2-[x(t)]^2}{\sqrt{[x(t)]^2+h^2}}\right)}{[x(t)]^2+h^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{d\sin{\alpha}}{dt}(t)=\frac{h^2\cdot\frac{dx}{dt}(t)}{\sqrt{[x(t)]^2+h^2}\cdot\left(\sqrt{[x(t)]^2+h^2}\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{d\sin{\alpha}}{dt}(t)=\frac{h^2\cdot\frac{dx}{dt}(t)}{\left(\sqrt{[x(t)]^2+h^2}\right)^3}\)
\(\Leftrightarrow h^2\cdot\frac{dx}{dt}(t)=\frac{d\sin{\alpha}}{dt}(t)\cdot\sqrt{\left([x(t)]^2+h^2\right)^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{dx}{dt}(t)=\frac{\frac{d\sin{\alpha}}{dt}(t)\cdot\sqrt{\left([x(t)]^2+h^2\right)^3}}{h^2}\)
En als je er rekening meet houdt dat
\(\frac{d}{dx}\sin{\alpha}=cos\alpha\)
, dan krijg je:
\(\Leftrightarrow\frac{dx}{dt}(t)=\frac{\cos{\alpha}(t)\cdot\sqrt{\left([x(t)]^2+h^2\right)^3}}{h^2}\)
Met
\(\cos{\alpha}(t)=\frac{h}{y(t)}\)
\(=\frac{h}{\sqrt{[x(t)]^2+h^2}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{dx}{dt}(t)=\frac{\frac{h}{\sqrt{x^2+h^2}}\cdot\left(\sqrt{x^2+h^2}\right)^3}{h^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{dx}{dt}(t)=\frac{\left(\sqrt{x^2+h^2}\right)^2}{h}\)
\(\Leftrightarrow\frac{dx}{dt}(t)= \frac{[x(t)]^2+h^2}{h}\)
(Noot: hoewel ik vrij zeker van m'n stuk ben, is dit toch een beetje 'te mooi om waar te zijn'? Het toch een beetje 'te mooi' uit, niet? Graag het advies van een zeer wiskundig aangelegd iemand)
Als het toch zou kloppen, dan heb je nu -hoop ik- een antwoord op je vraag; nu kun je de ogenblikkelijke snelheid van het puntje dat zich voortbeweegt berekenen op het moment dat het puntje zich op
\(x(t)\)
afstand bevindt van het 'loodpunt' uit de pointer op het loodvlak;
(Als je de tan van de hoek gebruikt, zoals CoenCo zegt, is het wel minder werk
)
