[wiskunde] Differentiaalvergelijking opstellen

[TomDeS]

Opgave

De evolutie van de prijs van een zeker product wordt bepaald door de volgende vergelijkingen:

• q_V = 12 - 0,3p + 3 dp/dt
• q_A = -8 + 1/2 p - dp/dt
• dp/dt = k(q_V - q_A)

Hierbij is p de prijs per eenheid, q_Vde gevraagde hoeveelheid, q_Ade aangeboden

hoeveelheid en t de tijd.

Gevraagd

Stel een differentiaalvergelijking op voor de evolutie van de prijs. Zet de

vergelijking in standaardvorm.

Oplossing

dp/dt + 0,8k/(1-4k) * p = 20k/(1-4k)

Wat je moet doet lijkt mij vrij eenvoudig. Ik heb dp/dt = k(q_V - q_A) uitgewerkt, en dan kom ik uit:

dp/dt = -0,8pk + 4k dp/dt + 20k

<=> dp/dt +0,8pk - 4k dp/dt = 20k

Maar ik krijg het niet in de vorm zoals de oplossing. Wat doe ik verkeerd?

Dank je wel voor je hulp!

[Jan van de Velde]

Opmerking moderator

Iemand die hier een handje kan toesteken?

[Marko]

Wat je moet doet lijkt mij vrij eenvoudig. Ik heb dp/dt = k(q_V - q_A) uitgewerkt, en dan kom ik uit:

Maar ik krijg het niet in de vorm zoals de oplossing. Wat doe ik verkeerd?

Niets, je moet alleen nog wat meer herschikken. Je had:

dp/dt +0,8pk - 4k dp/dt = 20k

Dit kun je herschrijven als:

\(\frac {dp}{dt} - 4k \frac {dp}{dt} + 0.8 pk = 20k\)

[/color]

De eerste twee termen kun je herschrijven / ontbinden in factoren, en daarna zou het niet moeilijk meer moeten zijn.

[TomDeS]

\(\frac {dp}{dt} - 4k \frac {dp}{dt} + 0.8 pk = 20k\)

[/color]

De eerste twee termen kun je herschrijven / ontbinden in factoren, en daarna zou het niet moeilijk meer moeten zijn.

Dag Marko, dank je wel voor je hulp!

Ik weet niet hoe je dat kunt uitwerken met die tweede

\( -4k \frac {dp}{dt}\)

. We hebben geen enkele oefening waar twee keer

\(\frac {dp}{dt}\)

staat. Geen idee dus hoe je er dan mee moet rekenen

Kan je nog een hint geven?

[Marko]

Je kunt met "dp/dt" net zo rekenen als je met symbolen zou doen. Optellen, aftrekken, enzovoort.

En net zoals je voor

a + p*a kunt schrijven

a * (1+p)

kun je dat voor de dp/dt termen ook doen. En dan staat er nog maar 1 keer dp, met iets ervoor tussen haakjes.

[TomDeS]

Je kunt met "dp/dt" net zo rekenen als je met symbolen zou doen. Optellen, aftrekken, enzovoort.

En net zoals je voor

a + p*a kunt schrijven

a * (1+p)

kun je dat voor de dp/dt termen ook doen. En dan staat er nog maar 1 keer dp, met iets ervoor tussen haakjes.

Ah dank je wel Marko! Dus dan is het:

\(\frac {dp}{dt} = -0,8pk + 4k \frac {dp}{dt} + 20k\)

<=>

\( (1-4k) \frac {dp}{dt} + 0,8pk = 20k\)

<=>

\( \frac {dp}{dt} + \frac {0,8pk}{1-4k} = \frac {20k}{1-4k}\)

[Marko]

Helemaal goed