sciencetalk

Perceptie van een cirkelbeweging

In een wiskundeboek (*) las ik het volgende voorbeeld van een projectie van een cirkelbeweging: een soldaat loopt rondjes aan een constante snelheid. Een lage zon laat zonnestralen ongeveer loodrecht vallen op een witte muur achter de rondjes lopende soldaat, en we zien een schaduwbeeld van de soldaat in cirkelbeweging. Ik citeer hier verder uit het boek “de schaduwschildwacht loopt heen en weer op de muur tussen N en Z. De schaduwsnelheid is in tegenstelling tot de snelheid van de schildwacht variabel. De schaduw heeft bijvoorbeeld voor de tweede helft van zijn wandeling op de muur van O naar N juist 2 keer zoveel tijd nodig als voor de eerste helft. En bij punt N staat de schaduw als het ware een moment stil om zich vervolgens om te draaien en in de andere richting door te gaan, terwijl de schildwacht in vlees en bloed door blijft lopen aan dezelfde snelheid.”

Wat hierboven beschreven staat is de projectie van een cirkelvormige beweging op een plat vlak.

Als ik naar de wieken van een windmolen kijk, lijken de wieken vanuit een bepaalde gezichtshoek ook een variabele snelheid te hebben en boven en onder eventjes stil te staan, hoewel de wieksnelheid uiteraard gelijk is.

Als ik er wikipedia op nasla lees ik onder het lemma: “diepteperceptie” dat we eigenlijk tweedimensionaal zien, en dus eigenlijk ook een tweedimensionale projectie waarnemen. Onze binoculaire waarneming, en waarnemingsinterpretaties van de hersenen, geven ons de illusie dat we dieptezicht waarnemen, maar in de grond zien we eigenlijk een tweedimensionaal beeld, dus met een vertekende snelheidperceptie.

Plato wist het al, we zien slechts een schaduw van een driedimensionaal gebeuren.

Mijn vraag: kan mij iemand zeggen hoe men in de astronomie met deze tweedimensionale vertekening van cirkelbewegingen rond een “vast” punt in rekening brengt, om schijnbare snelheid (door het projectie effect) van werkelijke snelheid te onderscheiden.

(*) Kindt Martin en De Moor Ed, “Wiskunde, dat kun je begrijpen”, Uitg Bert Bakker, 2012, pp 230-231.

cock schreef:Plato wist het al, we zien slechts een schaduw van een driedimensionaal gebeuren.

Dat is inderdaad een citaat van Plato, maar hij had het over compleet iets anders. Die uitspraak heeft niets met het menselijke zicht of wiskunde te maken.

 

cock schreef:Mijn vraag: kan mij iemand zeggen hoe men in de astronomie met deze tweedimensionale vertekening van cirkelbewegingen rond een “vast” punt in rekening brengt, om schijnbare snelheid (door het projectie effect) van werkelijke snelheid te onderscheiden.

Niet. Uiteindelijk kunnen we alleen maar de schijnbare snelheid waarnemen. Daarom dat men ook zo lang dacht dat alles rond de aarde draaide. Je moet een model bedenken in drie dimensies, dat onze waarnemingen in twee dimensies verklaart. Die derde dimensie kan dus op heel veel manieren ingevuld worden.

Daarom was de bijdrage van Copernicus ook zo geniaal. Hij vond een andere manier om die derde dimensie in te vullen, dat alle waarnemingen (min of meer) verklaarde, maar dat vanuit Ockham's scheermes bekeken veel eenvoudiger was.

We kunnen inderdaad geen diepte zien (althans niet direct). Maar dat hoeft geen probleem te zijn, want de natuurwetten gelden overal in het heelal, dus ook de baanwetten van Kepler.
 
Van boven af gezien is het natuurlijk geen probleem om een omloopbaan te herkennen, net zoals bij de molen:  
Bekijken we zo'n omloop van de zijkant, dan zien we dit:  
Nu kunnen we de horizontale verplaatsing van de planeet per tijdseenheid in een grafiek zetten, en daaruit afleiden dat het om een sinus gaat (het is dus een cirkelvormige baan in dit geval):  
Voor een elliptische baan is het wat lastiger, maar hetzelfde principe gaat op. Planeten / sterren trekken hum omloopbanen volgens de wetten van Kepler in kegelsneden (klik), en uit de horizontale verplaatsing per tijdseenheid valt uit te rekenen wat de werkelijke baan is. Hier een elliptische omloopbaan vanaf de zijkant gezien, let op het snelheidsverschil:  
De werkelijk baan die je hier uit af kunt leiden ziet er dan ongeveer zo uit (het blauwe lijntje geeft de snelheid en richting van het object aan, en het groene lijntje de sterkte en richting van het gravitatieveld):  
Er spelen nog wat zaken mee. Een ervan is bijvoorbeeld de (in de animatie sterk overdreven) kleurverandering van de centrale ster. Overigens kan het ook de kleurverandering van het andere object zijn. Als de ster naar ons toe beweegt krijgen wij hier meer golftoppen per tijdseenheid binnen dan als de ster van ons af beweegt (het Doppler effect, klik). De kleur van het licht van de ster wijzigt hierdoor periodiek (rood- en blauwverschuiving), en daar kan de beweging van de ster naar ons toe of van ons af (de radiale snelheid) uit worden berekend.
 
Weten we door andere metingen de massa van de centrale ster of hebben we de afstand bepaald, dan valt weer uit te rekenen wat de werkelijke snelheden op die grote afstand zijn.
 
Vaak ligt het minder simpel. Een omlopende planeet is meestal onzichtbaar, en er wordt uit het schommelen van de centrale ster afgeleid dat er iets, een planeet meestal, omheen moet draaien. Als we het geluk hebben precies in het baanvlak te kijken, zal de planeet de ster periodiek bedekken en uit die bedekkingsgegevens valt dan veel informatie te krijgen over de fysische eigenschappen van omloopbaan en de planeet. Maar wordt de ster niet bedekt, dan zien we alleen het schommelen van de ster. De hoek waaronder het baanvlak van de planeet tov ons staat is dan echter onbekend. In dit geval kunnen we de hoek van het baanvlak en daarmee de massa van de planeet niet eenduidig berekenen, we kunnen dan alleen de omloopduur en de minimale massa van de planeet berekenen.
 
In de praktijk worden er als het even kan meerdere methoden gecombineerd om zo de omloopbaan en andere fysische gegevens zo nauwkeurig mogelijk te bepalen.

Als gevolg van de tekst van ’t Hoofd (Zie: “wat mag en niet mag van ’t Hoofd”), heb ik me toch op de wiskunde gegooid, met bedenkelijke resultaten, maar ik zet door. Ik dank u voor uw hulp bij mijn wiskundige muizenissen.
Dag 31.70.70

“Niet. Uiteindelijk kunnen we alleen maar de schijnbare snelheid waarnemen.”

Nog een vraagje, als een muur schuin staat (hoek > 90°) op de zonnestralen en het grondvlak in het voorbeeld  (zie voorbeeld eerste tekst), dan vermoed ik dat het schaduwbeeld van de soldaat een ellips zal beschrijven. Komt de schijnbare snelheid van de baan die  schaduwbeeld beschrijft dan overeen,  met wat de wetten van Kepler beschrijven (Perkenwet en de harmonische wet)?  Het reële middelpunt van de cirkel die de soldaat echt beschrijft is dan te beschouwen als een van de brandpunten van die ellips. Klopt dit? Met dank.
Dag Michel Uphoff,

“Voor een elliptische baan is het wat lastiger, maar hetzelfde principe gaat op. Planeten / sterren trekken hum omloopbanen volgens de wetten van Kepler, en uit de horizontale verplaatsing per tijdseenheid valt uit te rekenen wat de werkelijke baan is.”

Dat zal dan wel zo zijn, en de wetten van Kepler hebben zeker hun nut bewezen, maar waarom beschrijft  een planeet  ellipsvormige  baan  rond de zon?  Zou het niet logischer zijn dat een planeet in principe een cirkelvormige baan rond de zon beschrijft?  En dat ook andere planeten die rond de zon draaien  er ook naar streven om  in principe een cirkelvormige baan rond de zon te beschrijven? De gezamenlijke werking van de planeten  zou dan als gevolg hebben dat de onderlinge aantrekkingskracht ervoor zorgt dat de respectieve banen van de planeten ellipsvormig zijn ( het fameuze “meer lichamenprobleem”). Die interactie van verschillende zwaartekrachtsacties zou een indicatie kunnen geven van de aard van de planeten die rond een ster draaien, maar ook voor een verteken beeld kunnen zorgen. Ook de tweedimensionale waarneming (zie vraag aan 31.70.70) zou voor gezichtsbedrog kunnen zorgen.
Is 1) dit “in principe” zoals ik het hierboven vorm gaf en 2). het “gezichtsbedrog” dat ik al eerder beschreef, verdedigbaar om de ellipsbanen te verklaren? Met dank.

Zou het niet logischer zijn dat een planeet in principe een cirkelvormige baan rond de zon beschrijft?

 
Nee. Er zijn oneindig veel omloopbanen mogelijk, maar slechts een ervan waarbij de beide brandpunten van de ellips exact samen vallen is een cirkelbaan. Een cirkelbaan is dus extreem zeldzaam. De samenstellende delen van een planeet, destijds in de protoplanetaire wolk, kwamen vanuit een willekeurige richting naar de Zon vallen, en het zou wel heel toevallig zijn als ze tezamen precies de juiste snelheid en richting hadden om een cirkelbaan te vormen.
 
Probeer het zelf eens uit met deze applet, je zal zien dat het erg lastig is een cirkelbaan te maken.

Oeps, 31 70 70

Het reële middelpunt van de cirkel die de soldaat echt beschrijft is dan te beschouwen als een van de brandpunten van die ellips.

Dit stukje zal moeilijk kunnen, dus vervangen door "een van de brandpunten die de diagonaal omschrijft."
 
Dag Uphoff,
Ik ging uit van de veronderstelling uit dat de zon, de planeet uniform aantrekt, zoals ringen rond een planeet een mooie cirkels maken en de maan (bijna) een cirkel beschrijft rond de aarde, omdat aantrekkingskracht en centripetale kracht dit zo veroorzaken. Er is, zo dacht ik, maar een reëel actief brandpunt met zwaartekracht Een ellips heeft wel twee brandpunten, maar dat zijn toch theoretische constructies.
Maar als u het beschouwt als het resultaat van de ontstaansgeschiedenis, dan heeft u natuurlijk een punt, en klopt uw redenering, Maar uitgaande van de redenering die ik hierboven schreef, begrijp ik het toch niet helemaal. Denk één planeet, die aan een zwaartekrachtstouwtje vast hangt aan de zon, en rondjes draait, die planeet zal toch in een cirkel draaien. Sorry als ik te hardnekkig vast hou aan een redenering.

cock schreef: Denk één planeet, die aan een zwaartekrachtstouwtje vast hangt aan de zon, en rondjes draait, die planeet zal toch in een cirkel draaien. Sorry als ik te hardnekkig vast hou aan een redenering.

Ding is dat je zwaartekracht niet goed kunt vergelijken met een touwtje. Zwaartekracht wordt zwakker naargelang je verder van het middelpunt bent. Een touwtje gaat net meer kracht uitoefenen op de planeet, naargelang de planeet verder is (omdat het touwtje een erg sterke veer is).
 
Een touwtje is hier dus een erg slechte analogie. Als je analogiën neemt die beter overeen komen met hoeveel kracht zwaartekracht uitoefent, dan zie je daar wel de ellips te voorschijn komen.
 
Je moet anders maar eens gaan spelen met die dingen zoals hieronder, die je in de meeste wetenschapsmusea vindt.
 

Denk één planeet, die aan een zwaartekrachtstouwtje vast hangt aan de zon, en rondjes draait, die planeet zal toch in een cirkel draaien.

Zoals boven toegelicht werkt gravitatie niet als een touwtje. Ik weet niet of je al met die applet waar ik naar verwees gespeeld hebt, zo nee ga dat toch even doen.
 
Op zich is het idee dat omloopbanen cirkelvormig zouden moeten zijn natuurlijk niet zo vreemd, de eenvoud ervan is erg aantrekkelijk. Tot aan Copernicus, Kepler, Galilei was het zelfs een uitgemaakte zaak. De kerk had de denkbeelden van Ptolemaeus en Aristoteles omarmd, omdat ze goed pasten bij het beeld van een volmaakte schepper die alleen volmaakte dingen als perfecte bollen en cirkels maakte, met - vanzelfsprekend - de mens in het kosmisch centrum.
 
Hoe met name Kepler, diep religieus en een leven lang op zoek naar de volmaaktheid en harmonie in de schepping (Harmonices Mundi, Mysterium Cosmographicum), de beroemde bewegingswetten ontdekte en gedurende die zoektocht een van de eerste beoefenaars van de moderne wetenschappelijke methode werd behoort m.i. tot een van de mooiste verhalen uit de wetenschapsgeschiedenis, maar dit terzijde.
 
Die gravitatieput waarvan 317070 een foto plaatste is een van de meest intuïtieve hulpmiddelen. Die put is een analogie voor de (conform de visie van de algemene relativiteit) gekromde ruimtetijd waarin hemellichamen hun omloopbanen rond een massa in het centrum van de put trekken. Als je dit hulpmiddel bekijkt zie je waarschijnlijk in waarom cirkelbanen tot de uitzondering moeten behoren, tevens worden er enkele andere veel voorkomende vragen mee beantwoord zoals waarom alle planeten in dezelfde richting rond de Zon trekken. Bekijk en beluister dit filmpje eens:

 

Maar wat is nu in de werkelijkheid het equivalent van het zeil?
Waarom buigt het die kant op?
Het model werkt op een externe zwaartekracht, waar is daar het equivalent van?
 
Het model klopt dat zal ik niet ontkennen, maar geeft geen verklaring waarom het klopt.
(was bij Newton trouwens het zelfde euvel)

Het is niet de eerste maal dat ik dit soort filmpjes zie,  maar dit is wel het beste, maar er zijn toch een paar opmerkingen te maken.

“Maar wat is nu in de werkelijkheid het equivalent van het zeil?”

Schreef Tempelier, en ik kan hem begrijpen. De ruimtetijd is driedimensionaal, en het rubberdoek is tweedimensionaal, en dit maakt het toch wat onduidelijker.
Ik  merkte ook het volgende op:  behalve de eerste keer, toen de bal linia recta naar de put rolde,  gaf leraar de balletjes een grootte en een richting mee.
De zwaarste massa rolde vanzelf naar het midden van het vlak toe, alhoewel  het zichzelf  niet kon aantrekken.
 Eigenlijk zijn vijf actoren die de baan (i.c. een spiraal) van de balletjes  beïnvloeden.
Nota bene,  Er is geen blijvende  ellips in het filmpje, en hier ging het in uw antwoord toch een beetje over (de ellipsvormige baan van de planeten) . Een spiraal beschrijft  is een steeds kleiner wordende cirkelvorm het kan beginnen met een ellips, maar eindigt gewoonlijk in een cirkelvorm, (tenzij de put ellipsvormig is):
Nu de actoren:
1 De (aardse)zwaartekracht die de rollende bol naar het diepste punt op het laken trekt.
2 De leraar die de bollen (behalve in de eerste worp) een beginsnelheid en een richting meegeeft.
3 De massa van het rollende voorwerp, dat ook een v vormig (rond) putje  maakt.
4 De vorm van de put die de grootste masse maakt,
5 Het materiaal waaruit het zijl gemaakt is die deze specifieke vervorming mogelijk maakt.
- Punt één betekend dat niet de massa van de bol, maar de aardse zwaartekracht (de massa van de aarde)  de bol in het centrum van het laken aantrekt.  Maar goed, dit is spijkers op laagwater zoeken, maar de vraag blijft: waarom doet de zwaartekracht  dat? A) Omdat ze de tijdruimte buigt?  B)Of omdat  de zwaartepunten van de massa’s mekaar simpelweg aantrekken zonder dat  daar een verbuiging van de ruimte voor nodig is (de bollen rollen allebei zo snel mogelijk naar het laagste punt, op een manier die de weerstand van het rubberdoek toelaat). Het filmpje geeft mijn inziens  geen duidelijk antwoord op die vraag.
- Om een spiraal (geen ellips) te bereiken is blijkbaar een beginsnelheid en een richting nodig, anders zou het balletje direct naar de put rollen in rechte lijn (van boven gezien). Wat heeft ervoor gezorgd dat de planeten snelheid en richting meekregen? Bovendien spiraliseren de bolletjes naar de zware massa toe.  Dit zou betekenen dat de planeten naar de zon (of de maan naar de aarde) zouden moeten spiraliseren. Dit is gelukkig niet het geval, of toch dit is als dusdanig niet gemeten. Wat wel gemeten is, is dat de maan van de aarde wegspiraliseerd! Van een verassing gesproken.
- De vorm van het putje is zo, dat het geen scherpe randen maakt, dit is eigen aan het veerkrachtige  materiaal dat hier de ruimtetijd voorstelt  Wordt de ruimtetijd nu uitgerokken  of ingedrukt?  Het oppervlak van het doek vergroot inderdaad, maar er wordt ook in een driedimensionaal putje gedrukt. Hoe zit het met de driedimensionale ruimte? Het filmpje geeft ons hier geen antwoord op, dus vraag ik het maar hier. Wordt de ruimte uitgerekt of ingedrukt?  Hoe val je driedimensionaal? Je valt toch normaal eendimensionaal, langs de kortst (mogelijke, in dit geval een spiraal) weg? Hoe val je in een driemensionale put? Daar is geen rubber om je een baan te geven, je valt gewoon Waarmee ik hierboven ook de vierde actor behandelde.
- Waarmee we bij de vijfde actor terecht komen. Uit de analogie met het doek leren we dat de ruimtetijd kan uitrekken of indrukken. Dat de structuur van de ruimtetijd vervormd wordt door de massa die er aanwezig is, en dat de ruimtetijd onder invloed komt van natuurkundige krachten zoals de zwaartekracht Ook leer ik dat dit een geleidelijk proces is (hoe dichter bij een massa, hoe kleiner de spiraal, en hoe sneller de omwenteling  van het aangetrokken voorwerp rond de aantrekkende massa). Ik weet niet wat jij erover denkt, maar ik vind dat de ruimtetijd veel kenmerken heeft van rubber, en niet van leegte. Waarom noemt men het dan geen ether? En waar is de tijd in het gebeuren?  Het enige wat ik zie is dat snelheid van de spriraliserende voorwerpen, waarschijnlijk bepaald wordt door  de diepte van de put die de massa in het midden maakt. Is dat dan de factor tijd van de ruimtetijd? (hoe groter de put in het midden, hoe sneller de spiraliseertijd?) Is de tijd dan recht evenredig met de zwaartekracht? Ik stap in ieder geval sneller op de maan dan op aarde.
 

"een volmaakte schepper die vanzelfsprekend alleen volmaakte dingen als perfecte bollen en cirkels maakte,”

De schepper moet hier helaas buiten blijven, want we zijn met natuurkunde bezig, maar dat de natuur mooie bollen maakt is duidelijk. Ik heb gelezen dat de aarde op het formaat van een biljartbal, nog gladder zou zijn dan de biljartbal.

#10

Dat van drie naar twee dimensies gaan is me wel duidelijk.
Er is echter iets anders wat niet klopt.

In het model liggen de massa's OP het zeil terwijl in onze ruimte de massa's zich in de ruimte bevinden.

Ook blijft staan WAARDOOR de massa's de ruimte deformeren, bij het zeil is dat een extern gravitatie veld.
Wat is het equivalent van dat gravitatie veld in de driedimensionale wereld?

PS.
Je komt op de maan nauwelijks sneller vooruit als op de aarde.

Ik zou graag een reactie willen geven op # 4 van COCK. Daarin schrijf je dat als de muur en de zonnestralen een grotere hoek maken dan 90 graden de projectie waarschijnlijk een ellips zal zijn.
Ik denk niet dat dat zo is. Het zou wél zo zijn als het rondje waarin de soldaat loopt een hoek ten opzichte van de ondergrond die geen 90 graden is, en de muur wel een hoek van 90 graden maakt met de grond waarop hij staat.

tempelier schreef: Maar wat is nu in de werkelijkheid het equivalent van het zeil?
Het model werkt op een externe zwaartekracht, waar is daar het equivalent van?

Ik zou het geen model noemen. Een analogie is misschien een beter woord. Ikzelf vindt het een zeer slechte en misleidende analogie van zwaartekracht. Verbanden moet je niet zien waar deze niet zijn. Een zeil gekromt door een massa heeft niets te maken met ruimte die kromt door een massa. Net zoals electriciteit soms wordt uitgelegd a.d.h.v. water. Daar ben ik geen voorstander van.

 

Flisk schreef: Ik zou het geen model noemen. Een analogie is misschien een beter woord. Ikzelf vindt het een zeer slechte en misleidende analogie van zwaartekracht. Verbanden moet je niet zien waar deze niet zijn. Een zeil gekromt door een massa heeft niets te maken met ruimte die kromt door een massa. Net zoals electriciteit soms wordt uitgelegd a.d.h.v. water. Daar ben ik geen voorstander van.

 

Met model bedoelde ik eigenlijk meer de constructie.
Ikben ook niet zo'n voorstander van dit soort benaderingen.
 
Wel blijft natuurlijk de vraag overeind waardoor kromt een massa de ruimte?

tempelier schreef:  
Wel blijft natuurlijk de vraag overeind waardoor kromt een massa de ruimte?

 
Dat is een vraag die je bij ieder natuurkundig verschijnsel wel kunt stellen, en waar je nooit echt antwoord op kunt krijgen.
 
Bijvoorbeeld:
Waardoor zorgt een elektron voor een elektromagnetisch veld?