Relativistische golfvergelijking voor gebonden systemen?

[Boormeester]

Opmerking moderator

Afgesplitst van deze topic.

Recentelijk had ik wat tijd over in de woestijn van Tsjaad en ben toen begonnen het boek van Griffiths te lezen (David Griffiths-Introduction to elementary particles-John Wiley & Sons Inc (1987)).
Daarin gaf hij aan dat er geen relativistische golfvergelijking bestaat voor een gebonden systeem. De Dirac vergelijking is voor een vrij elektron. Tevens moet de vergelijking Lorentz invariant zijn.
Ik moest toen gelijk denken aan de “eenvoudige” voorstelling van zaken in bijv het waterstof atoom waarbij de omtrek van de cirkelbaan van het elektron een geheel aantal malen de golflengte van het elektron is. Hierbij komen de energie niveaus van het elektron perfect te voorschijn.
Als je dit idee nu eens toepast met een relativistische benadering, waarbij de omtrek van de baan, bekeken vanuit het elektron, verkort wordt met een factor V(1-v2/c2).
Ik denk dat je vanuit die benadering toch wellicht tot een relativistische energie verdeling kan komen en wellicht tot een relativistische golfvergelijking.
Dezelde methode kun je toepassen voor elk 2 deeltjes probleem: elektron-positron etc.

[descheleschilder]

Ik wilde eerst even kwijt dat het boek dat het boek van David Griffiths echt een aanrader is! Kwantumveldentheorie gaat uit van twee (of meer) vrije deeltjes die een reactie aangaan, waarna er weer vrije deeltjes tevoorschijn komen (die Natuurlijk niet noodzakelijk dezelfde hoeven te zijn als de ingaande deeltjes). Daarop is de theorie gebaseerd. De theorie maakt gebruik van verschillende relativistische golfvergelijkingen (denk aan de Dirac vergelijking voor fermionen van Dirac of de Klein-Gordon vergelijking voor deeltjes met spin 0).
In een gebonden systeem als het waterstofatoom bewegen de elektronen zo langzaam dat er geen meetbaar verschil is tussen de klassieke energie en de relativistische.
De Schrödinger vergelijking is eigenlijk de klassieke uitdrukking voor de energie (E=p²/2m+E_pot), waarbij je de impuls en energie verandert in operatoren; op bladzijde 146 in het boek van Griffiths staat hoe, hoewel ik een oude druk heb), net zoals de relativistische Klein-Gordon vergelijking (spin 0). De vergelijking van Dirac is zo niet af te leiden, maar ik dwaal nu een beetje af.
Ik denk dat er in een waterstofatoom gewoon geen sprake is van een relativistische energie. En het is bovendien een gebonden systeem.

[Boormeester]

Er zijn 2 deeltjes systemen die wel relativistisch zijn. Het gaat erom om een relativistische golfvergelijking af te leiden en te komen tot een relativistisch energie spectrum. Een twee deeltjes systeem kan zowel relativistisch als niet relativistisch zijn.
Uitgangspunt is: een cirkelbaan die in de omtrek verkort (bewegingsrichting) maar niet in de straal (loodrecht op de bewegingsrichting)
Pas dan toe dat de golflengte van het deeltje een geheel aantal malen past in die omtrek. Reken met de gereduceerde massa en de wet wet van behoud van impulsmoment en van energie.

[descheleschilder]

Kun je een expliciet voorbeeld geven, want het hangt ook van de spin van de deeltjes af tot welke vergelijking je komt. In positronium bijvoorbeeld zullen de lengtes van de banen (bij een afstand tussen het elektron en het positron die gelijk blijft) iets korter worden, met als gevolg een grotere energie voor de deeltjes. Ik zie niet hoe je op deze manier tot de Dirac vergelijking komt. Je kunt de vergelijking niet gebruiken (zijnde een onderdeel van de kwantumveldentheorie) om de toestand van het positronium te berekenen, dus waarom zou je uit de toestand van het positronium wél de Dirac vergelijking tevoorschijn kunnen toveren? Bovendien, hoe kan een cirkelbaan korter worden, terwijl de straal loodrecht op de bewegingsrichting gelijk blijft? Dan geldt voor de omtrek toch niet meer dat die 2πr is?

[Boormeester]

De Dirac vergelijking volgt er ook niet uit. Dat is voor een ongebonden elektron. We zoeken naar een golfvergelijking van een gebonden systeem. In de relativiteits theorie geldt ook niet meer dat de omtrek 2πr is! Er treedt immers lorentz contractie op in de bewegingsrichting. Dit is o.a. te zien bij de baan van Mercurius (2 effecten: gravitationeel en snelheid).
Relativistische 2 deeltjes systemen kun je vinden in H5  van Griffiths.
Als je een 2 deeltjes systeem relativistisch behandelt komt vanzelf de magnetische wisselwerking tevoorschijn (is immmers een gevolg van bewegende ladingen) maar je moet ook rekening houden met de eindige voortplantings snelheid van het elektro-magnetische veld.
Dit gaat wiskundig een beetje boven mijn pet, het gaat mij er enkel om, om een manier aan te geven waarop je eventueel naar een relativistische energie verdeling kan komen (spectrum) en van daaruit wellicht naar een golfvergelijking.

[descheleschilder]

 In de relativiteits theorie geldt ook niet meer dat de omtrek 2πr is!

 
Dat is zo maar dat geldt alleen voor een gekromde ruimte, terwijl we hier in een vlakke ruimte werken. Het effect van het korter worden van de baan van een elektron zal tot gevolg hebben dat de straal korter wordt en de omtrek zodoende 2πr blijft.
Als ik het goed begrijp wil je tot een relativistische vergelijking voor gebonden deeltjes komen? In plaats van de Schrödinger vergelijking?

[Boormeester]

Correct. Nog even over "gekromde ruimte": Bij de behandeling van een gebonden 2 deeltjes systeem geldt enkel de speciale relativiteits theorie. De gravitatie is zo zwak dat deze totaal verwaarloost kan worden op die schaal. Contractie treed op in de bewgingsrichting, niet loodrecht daarop. De cirkelbaan maakt de behandeling eenvoudig, de straal verandert immers niet bekeken vanuit een van beide deeltjes.
De omtrek wordt niet 2πr, maar 2πr√(1-v²/c²).

[descheleschilder]

De omtrek wordt niet 2πr, maar 2πr√(1-v²/c²).

 
In een vlakke ruimte is de omtrek van een cirkel altijd 2πr. In de r-richting, loodrecht op de bewegingsrichting vindt inderdaad geen lengtecontractie plaats. Maar dat wil niet zeggen dat r niet kleiner kan worden. Het is alleen niet het gevolg van contractie. Vergelijk het met een touwtje in een cirkelvorm. Als je het touwtje korter maakt (2πr√(1-v²/c²)) zal de straal vanzelf kleiner worden, zodat de omtrek blijft voldoen aan de formule 2πr.

[Boormeester]

Het touwtje wordt niet korter, wel de omtrek. De speciale relativiteit is de relativiteit van de vlakke ruimte: afwezigheid van gravitatie.

[descheleschilder]

Precies, juist daarom klopt de bovenstaande formule niet!
Goed, dan nemen we een gespannen elastiekje. Rond van vorm. Dat wordt wél korter (contractie) en tevens kleiner in omtrek. De metriek in de r-richting hoeft daarvoor niet te veranderen (geen contractie). In een vlakke ruimte is de omtrek van een cirkel toch altijd 2πr? Als dat niet zo zou zijn zouden we moeten concluderen dat we in een gekromde ruimte leven.

[Michel Uphoff]

Als dat niet zo zou zijn zouden we moeten concluderen dat we in een gekromde ruimte leven.

 
Dat denk ik niet, zie de discussie over deze Ehrenfest paradox hier.

[descheleschilder]

Ooit een schijf gezien gemaakt van een materiaal dat niet samendrukbaar is? Dat is een hersenspinsel.

[Michel Uphoff]

Kennelijk ben je bij Born rigid opgehouden met lezen?
Dat zou jammer zijn.

[descheleschilder]

Een paradox heet niet voor niets zo. Paradox: schijnbare tegenstelling.
Misschien is mijn laatste opmerking in bericht 10 een twistpunt (volgens wat ik gelezen heb kan een vlakke ruimte niet Euclidisch zijn, hetgeen ik toch enigszins betwijfel ondanks alle dure woorden in het stuk over de paradox) maar in het geval van een elektron dat om een atoom draait lijkt mij de situatie duidelijk. Hier is duidelijk geen sprake van een rigide schijf.

[Boormeester]

Een ruimte is vlak in afwezigheid van een noemenswaardige gravitatie. Dan geldt de speciale relativiteits theorie. Als er niet sprake is van een snelheid is de omtrek 2πr. Ze meten wij ook de omtrek van een cirkel: we staan stil!
Een bewegende waarnemer zal voor dezelfde omtrek, die een stilstaande waarnemer kwalificeert als 2πr, meten: 2πr√(1-v²/c²).
Beiden werken in een vlakke metriek.