sciencetalk

Aristoteles voert in de Caelo als bewijs voor de bolvorm van de aarde onder meer aan dat de schaduw van de aarde op de maan tijdens een maansverduistering altijd gekromd is (zoals we onlangs hebben kunnen  zien), en nooit recht, zoals bij halve maan. Nu las ik dat Otto Neugebauer, in zijn History of Ancient Mathematical Astronomy (1973), p. 1093-1094  dit bewijs "mathematically inconclusive" vindt. Kan iemand mij vertellen, wat hij daarmee zou kunnen  bedoelen? Volgens mij slaat Neugebauer (een erkend autoriteit op zijn gebied) hier toch de plank mis.Helaas is op internet alleen p.1093 van Neugebauer's boek te bekijken en legt hij het misschienop p. 1094 uit. Heeft iemand zijn werk in de kast staan en kan die het voor mij nakijken?
Daniel Graham legt in zijn onlangs verschenen Science Before Socrates (2013), p. 130 goed uit dat de schaduw van een platte aarde met name bij zogeheten crepusculaire maansverduisteringen, waarbij de maan zich vlak boven de horizon bevindt, wel een rechte lijn zou zijn (zie toegevoegde afbeelding)
 
 

Misschien bedoelde Neugebauer dat de randen van de kernschaduw en de halfschaduw uitgesmeerd worden met een schijf ongeveer ter grootte van de maan. De kernschaduw van de platte aarde zou dus geen platte rechthoek zijn, maar onherkenbaar versmelten met de halfschaduw. En als de aarde een kubus was dan zou de kernschaduw toch rond zijn.
 
De tekening van Graham lijkt uit te gaan van een puntvormige zon, dat klopt natuurlijk niet.

Ik denk dat Neugebauer nog iets anders bedoelt. Hij schrijft "mathematically inconclusive" en niet "physically inconclusive", of "optically inconclusive".
De tekeningen van Graham zij altijd wat onbeholpen, maar deze lijkt mij toch in principe juist. Aristoteles' bewijs heeft immers ook betrekking op de kernschaduw van de maan.

Hier een wat uitgebreider quote uit 'Simplicius on the Planets and Their Motions', Alan C. Bowen 2012:
 

dirkcouprie schreef: Ik denk dat Neugebauer nog iets anders bedoelt. Hij schrijft "mathematically inconclusive" en niet "physically inconclusive", of "optically inconclusive".
De tekeningen van Graham zij altijd wat onbeholpen, maar deze lijkt mij toch in principe juist. Aristoteles' bewijs heeft immers ook betrekking op de kernschaduw van de maan.

 
De beschrijving van kernschaduw en halfschaduw is pure meetkunde, en mijn suggestie was meetkundig. Het komt wat mij betreft neer op hetzelfde als wat gezegd wordt in de quote die Michel heeft gevonden.
 
De tekening van Graham vind ik niet onbeholpen, maar wel nutteloos en misleidend. De tekening toont een kernschaduw (umbra) van de platte aarde die de maan bereikt, en dat is evidente onzin, omdat de zon geen puntbron is. 

Hartelijk dank voor de reacties.
Voor zover mij bekend hadden de oude Grieken geen weet van de halfschaduw bij een maansverduistering en wordt die nergens vermeld.
 
Wat het uitvoeriger citaat van Neugebauer betreft: Ik vraag me af of hij er wel rekening mee houdt dat bij verschillende maansverduisteringen de aarde van verschillende kanten beschenen wordt door de zon en toch steeds dezelfde schaduwvorm op de maan werpt. Dan kan het toch niet anders of de aarde moet wel een bol zijn?  Bij een platte aarde zou dat subiet allerlei verschillende schaduwvormen opleveren. Dat is tenminste zo bij mijn experimenten in een donkere ruimte  met een lichtbron en een cirkelvormige schijf van enige dikte. Of zie ik iets mathematisch (en dus niet de halfschaduw) over het hoofd?

Je zal zowel de vorm van de Aarde als die van de Maan in het schaduwverhaal moeten betrekken. Of je ook bij andere vormcombinaties gelijksoortige schaduwen op de Maan kan projecteren lijkt mij niet bij voorbaat uit te sluiten.

Pas als je kan bewijzen dat alleen bolvormen tot het geobserveerde resultaat leiden, is de kwestie wiskundig rond.

Aan Moderator.
Wat de aarde aangaat ging de discussie bij de oude Grieken over plat, of schildvormig (Homerus, die het schild van Achilles beschrijft, waarop de aarde is weergegeven), of plat maar - enigszins - concaaf (Democritus), of mogelijk tweezijdig concaaf, of bolvormig (Parmenides, Aristoteles). Een platte schijf of een concave zal in schaduwwerking geen verschil maken. Met een schildvormige moet ik nog experimenteren.
 
De twee enige andere vormen  - naast bolvormig - voor de maan die voor de oude Grieken in aanmerking komen zijn die van een plat vlak (de maan als een pllatte schijf, b.v. Anaxagoras) en die van een concave halve bol (Heraclitus). Het eerste geeft proefondervindelijk steeds een (gedeelte van een)  bol als schaduw, ermee rekening houdend dat het platte vlak steeds (vrijwel) haaks op de richting van het licht staat (omdat de drie hemellichamen bij maansverduistering in een rechte lijn ten opzichte van elkaar staan en de maan steeds dezelfde kant naar de aarde gekeerd heeft). Ik ga nog op zoek naar een concave halve bol om daarmee te experimenteren.
Experimenteren is natuurlijk iets anders dan een wiskundig sluitend bewijs geven, maar dat laatste gaat mijn mogelijkheden verre te boven.

Aha!
Proefondervindelijk bewijs dat een platte schijfvormige aarde (ik gebruikte er een met een hoogte 1/3 van de diameter, zoals bij Anaximander) de schaduw in een halve concave bol altijd gekromd is. Dus dat is wat Neugebauer bedoelde.
Aristoteles zou daarom ook nog hebben moeten aantonen dat Heraclitus ongelijk had en dat de maan geen concave halve bol is, maar een volledige bol. Het argument van Aristoteles voor de bolvorm van de hemellichamen (behalve de aarde) is metafysyisch te noemen (bij een cirkelvormige beweging hoort volgens hem een bolvorm)  en is dus - zouden wij zeggen - onvoldoende.

Nog even over de tekening van Graham.
hij tekent de aarde als een wel heel platte schijf. De oud-Griekse dimensies zijn: hoogte 1/3 van de diameter.
Als de aarde plat is, is de afstand van zon en maan tot de aarde gering (ongeveer 6000 km.), en dus zijn zon en maan dan relatief klein (ongeveer zo groot als de Peloponnesus, zoals Anaxagoras zegt).
Rekening hiermee houdend kun je wel zeggen dat de kernschaduw van de aarde tot de maan reikt.  

Michel Uphoff schreef: Je zal zowel de vorm van de Aarde als die van de Maan in het schaduwverhaal moeten betrekken. Of je ook bij andere vormcombinaties gelijksoortige schaduwen op de Maan kan projecteren lijkt mij niet bij voorbaat uit te sluiten.

Pas als je kan bewijzen dat alleen bolvormen tot het geobserveerde resultaat leiden, is de kwestie wiskundig rond.

Met een aarde die de vorm heeft van een gesloten torus geeft ( voor de slagschaduw) op het oog het zelfde resultaat.
(veel meer dan het blote oog had Aristoteles niet)

In de discussie van destijds kwamen, zoals ik al schreef, maar een paar vormen voor de aarde en de maan (en de overige hemellichamen) in aanmerking. Van een gesloten torus had men toen nog geen weet.
Ik heb nog eens verder geëxperimenteerd met het meest gangbare model van een platte aarde: een soort damschijf (zuilentrommel noemde men dat toen) met diameter van driemaal de hoogte. Als je niet alleen met totale maansverduisteringen,maar ook met gedeeltelijke rekening houdt, dan moet zo'n, vorm van de aarde zich toch onvermijdelijk wel een keer verraden, dunkt me, onafhankelijk van de vorm van de maan. Bijvoorbeeld zoals in de bijgaande tekening.

In de tekening is de gele schijf de maan, en de zwarte taartpunt is een stukje schaduw van de zuilentrommelvormige aarde?
 
Dan ontbreekt bij de zwarte taartpunt het effect van de puntspreidfunctie (PSF). De puntspreidfunctie is hoe de schaduw van een puntvormige aarde eruit zou zien. Die PSF is een cirkelschijf die net zo groot is als de maan (eigenlijk zo groot als de hoekdiameter van de zon, en die is toevallig even groot als de maan). Elk punt van de zwarte taartpunt moet je uitsmeren met de PSF. Jouw hoekige schaduw wordt dan heel veel ronder en vager.