warmteverlies van vloeistof in een vat berekenen

[js84]

Hoi Allemaal, 
 
Ik ben momenteel bezig met een hobbyprojectje, en graag reken ik op een klein beetje hulp voor de onderstaande berekening;
 
Stel ik heb een watervat (cubus) met een inhoud van 1m³. De wand van het vat is gemaakt van staalplaat, maar deze wand gaan we verwaarlozen in onze berekening. Het vat is geïsoleerd met PUR-platen met een totale dikte van 30cm.
 
De temperatuur van het water in het vat bedraagt 80°C, de omgevingstemperatuur bedraagt 10°C. Hoe lang zal het nu duren tot het water een temperatuur van 50°C bereikt?
 
 
 
Wat weten we:
 
volume water: 1m³
massa water: 1000kg
oppervlakte waarlangs warmteverlies zal optreden: 6m²
soortelijke warmtecapaciteit water: 4178J/KgK
80°C = 353°K
50°C = 323°K
warmtecapaciteitsverschil= 1000KG x 4178K/KgK x 30°K = 125340000J = 125,34MJ
 
Lambda-waarde PUR= 0.03W/mK
R-waarde PUR= 10m²K/W
 
Ik heb reeds een aantal formules gevonden via google, maar toch kom ik er nog niet uit... Wat zijn jullie bevindingen?
 
Alvast bedankt  
 

[Pinokkio]

Je hebt in dit geval te maken met de Afkoelingswet van Newton, Newton's Law of Cooling.
Google dat maar eens.
 
Op dit forum is daar eerder ook wel over geschreven, bijvoorbeeld: http://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/140083-stilstandverliezen-boiler/

[js84]

Hetgene ik wel al weet en hopelijk zonder fout:
 
Warmteverlies door een wand = U x A x deltaT
 
U= 0,15 W/m²K (berekend adhv de lambda waarde)
A= (1,3 x 1,3) x 6= 10,14m²
deltaT= 70°K
 
Warmteverlies= 0.15 x 10,14 x 70= 106,47W
___
 
Ik zou dus een interne warmtebron moeten plaatsen van 106,47W om de temperatuur constant te houden.
 
verder:
P=E/t
 
Vermogen in Watt = energie in Joule / tijd in seconden
 
Hieruit volgt: E=P x t
 
totale energieverlies per uur wanneer we een interne warmtebron plaatsen om de temeratuur van het water constant te houden:
E = 106,47 x 3600 = 383292 Joule oftewel 0,383292 MJ
 
____
 
Indien we hier nu een indicatietijd voor afkoeling willen berekenen wanneer de interne warmtebron weg valt kunnen we het totale energieverlies delen door het energieverlies per uur. Deze berekening is echter NOOIT juist aangezien deltaT gedurende de afkoeling steeds veranderd. De afkoeling zal dus veel trager verlopen.
 
indicatieve afkoeltijd = 125,34MJ / 0.383292MJ = 327,0092 uur = 13,625 dagen
 
____
 
Aangezien ik graag wil weten wat de reële tijd zal zijn en ik hiervoor geen formule ken bereken ik het gemiddelde energieverlies uit ondestaande gegevens:
 
warmteverlies bij deltaT van 70°K = U x A x 70 = 0.15 x 10,14 x 70 = 106,47 W
warmteverlies bij deltaT van 65°K = U x A x 65 = 0.15 x 10,14 x 65 = 98,856 W
warmteverlies bij deltaT van 60°K = U x A x 60 = 0.15 x 10,14 x 60 = 91,26 W
warmteverlies bij deltaT van 55°K = U x A x 55 = 0.15 x 10,14 x 55 = 83,655 W
warmteverlies bij deltaT van 50°K = U x A x 55 = 0.15 x 10,14 x 50 = 76,05 W
warmteverlies bij deltaT van 45°K = U x A x 45 = 0.15 x 10,14 x 45 = 68,445 W
warmteverlies bij deltaT van 40°K = U x A x 40 = 0.15 x 10,14 x 40 = 60,84 W
 
warmteverlies gemiddeld = 83,65371W
energieverlies gemiddeld = 83,65371 x 3600 = 301153,4 Joule/uur = 0.3011534 MJ/uur
 
afkoeltijd = 125,34MJ / 0.3011534MJ/uur = 416,1999 uur = 17,34 dagen
 
___
 
Wat denken jullie van deze berekening? Kan dit ongeveer een realistische weergave zijn of zit ik nog steeds ergens fout?
 
thanks
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

[Pinokkio]

U= 0,15 W/m²K (berekend adhv de lambda waarde)

Dat lijkt me al fout.
 

A= (1,3 x 1,3) x 6= 10,14m²

En dat is me niet duidelijk.
 
Naar de rest heb ik niet gekeken, zoals je zult begrijpen.

[js84]

A = de oppervlakte waarlangs warmte verloren gaat, dus de maat van het vat + de dikte van de isolatie. Hier ben ik fout, want de isolatie van 30cm komt uiteraard aan elke zijde van het vat. A moet dus zijn: (1,6 x 1,6) x 6 = 15,36m²
 
De U-waarde van de isolatie heb ik berekend via een rekenmodule op internet. 
http://www.bouw-energie.be/berekenen/varia/uwaardeisolatie.php
 
blijkbaar heb ik hier een foute waarde ingegeven, dit moet 0.1 zijn.
De formule is eigenlijk gewoon U=1/R
 
 
Ik zal morgen de volledige berekening eens herzien en hierboven alles aanpassen. Verdere opmerkingen zijn altijd welkom.
 
grts

[Pinokkio]

A = de oppervlakte waarlangs warmte verloren gaat, dus de maat van het vat + de dikte van de isolatie. Hier ben ik fout, want de isolatie van 30cm komt uiteraard aan elke zijde van het vat. A moet dus zijn: (1,6 x 1,6) x 6 = 15,36m²

Aha, nu begrijp ik wat je eigenlijk doet. Ik had eerder het hoofd gezien dat het vat een kubus is.
 
Maar lees dat andere topic nog eens goed: A moet het gemiddelde zijn van buiten- en binnenoppervlak van de isolatie, dus gemiddelde van 15,36 en 6,0 is 10,68 m². Je eerdere A was dus eigenlijk goed.
 
En waarom deed je zo moeilijk om de afkoelingstijd te berekenen?
Dat kan heel simpel met die formule uit dat andere topic:
 
t = c * Ln[(T₁ - T_o)/(T₂ - T_o)]
 
Je moet alleen eerst even de waarde van c berekenen.

[David D]

Maar lees dat andere topic nog eens goed: A moet het gemiddelde zijn van buiten- en binnenoppervlak van de isolatie, dus gemiddelde van 15,36 en 6,0 is 10,68 m2.

Nu ben ik geen specialist, maar dat lijkt me toch fout. Het warmteverlies wordt toch tegengegaan vanaf de eerste mm isolatie ? En toch niet vanaf halverwege de isolatiedikte ??

Het warmteverliesoppervlak lijkt me dan ook uitsluitend de "binnenzijde" van de kubus te bedragen, i.e. binnen de isolatie = 1m x 1m x 6zijden = 6m2. Wanneer je het gemiddelde moet nemen, dan zou dat impliceren dat het warmteverliesoppervlak toeneemt, naarmate je de isolatie dikker kiest … Stel: ik neem dezelfde kubus en omwikkel hem met 1m isolatie. De buitenafmetingen van de kubus bedragen dan 3 x 3 x 3 meter. Het verliesoppervlak zou volgens jullie 'gemiddelde' dan 2m x 2m x 6zijden zijn of 24M2 ? Of 4x meer dan wanneer de kubus niet geïsoleerd wordt ? Dan zou de isolatie slechts voor 25% renderen !

Kunnen jullie dat beamen of tegenspreken ?

[David D]

Sterker nog: volgens jullie 'gemiddelde' zou het verliesoppervlak:
((3m x 3m x 6zijden) + (1m x 1m x 6zijden)) / 2 = 30M2 bedragen. Of 5x méér dan wanneer de kubus niet geïsoleerd wordt ... Dan wordt het warmteverlies slechts tegengegaan vanaf (√(30m2/6zijden)-1m)/2 = de 61,8ste centimeter isolatie ?

[Xilvo]

Nu ben ik geen specialist, maar dat lijkt me toch fout. Het warmteverlies wordt toch tegengegaan vanaf de eerste mm isolatie ?

En als de buitentemperatuur hoger is, dan ligt die eerste millimeter aan de buitenkant.
Het is duidelijk dat het niet allebei waar kan zijn.

Je moet een gemiddeld oppervlak nemen. Dat hoeft niet het rekenkundig gemiddelde te zijn.

Een kubus is een lastig geval. Als je het principe wilt begrijpen, kijk dan eens naar een cilinder, een buis, met een relatief dikke isolatie.

[Pinokkio]

Strikt genomen dient men in dit soort situaties het logaritmisch gemiddelde van binnen- en buitenoppervlak te gebruiken, maar gewoonlijk maakt het niet veel uit om simpelweg het rekenkundig gemiddelde te gebruiken.

Het rekenkundig gemiddelde van 15,36 en 6,0 is 10,68 m²,
het logaritmisch gemiddelde van 15,36 en 6,0 is 9,96 m².
Verschil is in dit geval 7 %.

[Michel Uphoff]

Zie ook dit en volgende berichten.

[David D]

Bedankt voor de snelle antwoorden. Maar ze overtuigen me helaas niet. Ik blijf erbij: door een kunstmatig opgeblazen verliesoppervlak te nemen, doen jullie de isolatiedikte teniet.

En als de buitentemperatuur hoger is, dan ligt die eerste millimeter aan de buitenkant. Het is duidelijk dat het niet allebei waar kan zijn.

Wat zou daar d u i d e l i j k aan zijn ? Staat de inhoud van de kubus dan niet in contact met (1 x 1 x 6) 6m2 isolatie om 1°C aan zijn omgeving te verliezen ? En staat de omgeving dan niet in contact met (3 x 3 x 6) 54m2 isolatie om 1°C aan de kubus te verliezen ? Wanneer de omgevingstemperatuur hoger is dan de kubustemperatuur, zal door het grotere contactoppervlak de kubus sneller de omgevingstemperatuur aannemen, dan omgekeerd. Punt. Het is alsof jullie die tijdsfactor weg willen cijferen door één of ander gemiddelde van dat contactoppervlak te hanteren. Dat lijkt me simpelweg een redeneerfout. Ook met een logaritmisch gemiddelde ipv een rekenkundig gemiddelde.

Maar ik neem aan dat jullie daar enig BEWIJS van wilden zien ?
Goed: we nemen tweemaal dezelfde kubus van 1m3 netto-inhoud en construeren hem tweemaal in uitsluitend XPS platen (teneinde het plaatmateriaal - staal in het voorbeeld van de topicstarter - buiten beschouwing te kunnen laten). Eén kubus van 1m3 netto inhoud in 1meter dik XPS, één kubus van 1m3 netto inhoud in 2meter dik XPS.

• Lambda XPS = 0,04W/mK, bijgevolg:

• U-waarde 1m XPS = 0,04W/m2K

• U-waarde 2m XPS = 0,02W/m2K

• Binnenoppervlak beide kubussen = 1m x 1m x 6 zijden = 6m2.

• Buitenoppervlak kubus met 1m isolatie = 3m x 3m x 6 zijden = 54m2.

• Buitenoppervlak kubus met 2m isolatie = 5m x 5m x 6 zijden = 150m2.

Ziehier het warmteverlies (door transmissie/straling) van beide kubussen volgens jullie verbeterd logaritmisch gemiddelde:

• 1m3 kubus met 1 meter isolatie: (54m2 - 6m2) / (ln(54m2) - ln(6m2)) = 21,85m2 verliesoppervlak, te vermenigvuldigen met de U-waarde van 0,04W/m2K = 0,874W/K

• 1m3 kubus met 2 meter isolatie: (150m2 - 6m2) / (ln(150m2) - ln(6m2)) = 44,74m2 verliesoppervlak, te vermenigvuldigen met de U-waarde van 0,02W/m2K = 0,895W/K

Jullie besluit door het logaritmisch gemiddelde als verliesoppervlak te hanteren: de 1m3 kubus met 2m isolatie rondom, verliest méér warmte dan de 1m3 kubus met 1m isolatie rondom (!) En dat zou 'wetenschappelijk' zijn ?

Juist lijkt me:

• de kubus met 1meter isolatie verliest 6m2 x 0,04W/m2K = 0,24W/K.

• de kubus met 2meter isolatie verliest 6m2 x 0,02W/m2K = 0,12W/K.

Waarom ? Omdat je met dubbel zoveel isolatie, 50% minder warmte verliest. Dat leek me nogal wiedes ... of niet ?

[Xilvo]

Wanneer de omgevingstemperatuur hoger is dan de kubustemperatuur, zal door het grotere contactoppervlak de kubus sneller de omgevingstemperatuur aannemen, dan omgekeerd. Punt.

Onjuist. Grootte warmtestroom is onafhankelijk van de stroomrichting.

Jullie besluit door het logaritmisch gemiddelde als verliesoppervlak te hanteren: de 1m3 kubus met 2m isolatie rondom, verliest méér warmte dan de 1m3 kubus met 1m isolatie rondom (!) En dat zou 'wetenschappelijk' zijn ?

Zoiets wordt niet besloten maar berekend.
Maar je hebt gelijk dat het hier niet toepasbaar is. Het logaritmisch gemiddelde geldt bij een cilinder, bijvoorbeeld al niet voor een bolschil. Voor een 'ingepakte' kubus is niet snel een formule te bedenken, dat zal je waarschijnlijk het best numeriek kunnen oplossen.
Om een schatting te doen kun je het rekenkundig gemiddelde gebruiken.

[Pinokkio]

Omdat je met dubbel zoveel isolatie, 50% minder warmte verliest. Dat leek me nogal wiedes ... of niet ?

Niet als je door die isolatie het warmteverliezend oppervlak enorm vergroot. Dat lijkt me nogal wiedes.

Lees eerst eens een goed boek over heat transfer.

[David D]

Jullie logaritmisch gemiddelde van het verliesoppervlak, zou niet gelden bij het ene volume - een kubus - maar wel bij een ander volume: de cilinder ? Mag ik dat ontzettend vreemde wiskunde vinden ?

Onjuist. Grootte warmtestroom is onafhankelijk van de stroomrichting.

De grootte van de warmtestroom is inderdaad onafhankelijk van de stroomrichting … bij gelijk contactoppervlak. De omgeving heeft een groter contactoppervlak met de (netto)kubus, dan de (netto)kubus met de omgeving. Dat is het hele punt.

"Omdat je met dubbel zoveel isolatie, de helft minder warmte verliest."
Wat ik daarmee wou zeggen: dat is een wiskundige wetmatigheid. En een wiskundige wetmatigheid heeft haar rechten. De enige manier om die wetmatigheid rekenkundig te doen kloppen bij elk volume, is de binnenafmetingen te hanteren als verliesoppervlak. Noch de buitenafmeting, noch enig gemiddelde kan die wetmatigheid in ere houden. Dus: NEEN, het warmteverliezend oppervlak vergroot NIET omdat je de isolatie dikker kiest. Dat is een redeneerfout ! De wiskundige wetmatigheid dat je met dubbel zoveel isolatie, de helft minder warmte verliest, klopt dan immers niet meer. Die wiskundige wetmatigheid is sterker dan om het even welke bibliotheek over heat transfer. Wiedes, toch ?

Maar als jullie je bij die wiskundige wetmatigheid niet kunnen neerleggen, is het eigenlijk héél eenvoudig - in mijn vorige reactie gaf ik jullie het warmteverlies van beide kubussen:

• 0,12W/K voor de kubus met 2m dikke isolatie;

• 0,24W/K voor de kubus met 1m dikke isolatie.

Ik toonde daarbij aan dat jullie berekening van het warmteverlies met jullie logaritmisch gemiddelde verliesoppervlak NIET KON kloppen, waarbij jullie warmteverlies tot 7x groter was dan het mijne !

Als jullie berekening niet kon kloppen, en de mijne volgens jullie nog steeds fout is, wat is dan wel het warmteverlies (in W/K) van beide kubussen ? In plaats van met losse flodders te schieten, zeggen jullie het maar !