[wiskunde] Extremumprobleem noodrantsoencontainer

[Jenny1013]

Voedsel dat verdeeld wordt naar aanleiding van rampen edm wordt opgeslagen in rechthoekige kisten. Bij het fabriceren van een dergelijke rechthoekige kist gebruikt men voor de onderkant van de kist een materiaal dat 2 maal zo duur is per eenheid van oppervlakte als voor de bovenkant en de zijkanten van de kist. Bepaal de dimensies van de kist voor een gegeven volume van 5m3 waarvoor de materiaalkost minimaal zou zijn. 

 
----------
 
De kist bestaat uit 6 vlakken: 2 vierkanten en 4 rechthoeken 
Oppervlakte (A) = 2(z²) + 4(l.z) 
2z² + 4l + 4z = A
4l = A - 4z - 2z²
l = (A - 4z - 2z²⁾ / 4
 
 
Inhoud = l . b . h = l . z . z = l . z²
5 = l . z²
5 = (A - 4z - 2z²) / 4 . z²
5 = (A/4) - Z - z²/2 . z²
 
Hoe neem ik hiervan dan de afgeleide? En hoe moet ik rekening houden met het stuk dat 2 maal duurder is? 

[Jan van de Velde]

het extremumdeel van dit probleem is niks voor mij, maar de opgave beweert nergens dat twee zijden van de kist vierkanten zijn? 
 
 

 hoe moet ik rekening houden met het stuk dat 2 maal duurder is? 
 

zorg ervoor dat je ipv 2 zijden met eenzelfde maat er 3 neemt? 

[aadkr]

Jenny, is deze afbeelding van de container correct?

img092 633 keer bekeken

[gallo]

Voor het deel dat 2x zo duur is zou ik gewoon 2 keer zoveel oppervlakte gebruiken, dus nog een keer extra het grondvlak aan de oppervlakte toevoegen.  
 
De formule in de onderste regel die je gevonden hebt moet je denk ik herschrijven als A = .....z (dus A uitdrukken in z).
 
Dan kan je denk ik met heel basaal differentieren de afgeleide daarvan bepalen (denk dat kettingregel enzo niet nodig zijn maar misschien zie ik dat verkeerd)

En waar die afgeleide een nulpunt heeft, bij die z zal de formule voor A vermoedelijk een minimum geven, bij die z is dan de minste oppervlak nodig om de gevraagde inhoud te behalen.   

 

[Jenny1013]

@aadkr, inderdaad ik had ook zo iets in gedachten... Maar er staat wel niets in de opgave dat de rechthoek ook uit twee vierkanten zou bestaan...

[Demophilus]

@aadkr, inderdaad ik had ook zo iets in gedachten... Maar er staat wel niets in de opgave dat de rechthoek ook uit twee vierkanten zou bestaan...

Je hoeft helemaal niet aan te nemen dat één van de zijkanten uit een vierkant bestaat (uiteindelijk zal dit wel het resultaat zijn uiteraard, maar je hoeft dat niet  aan te nemen om dit probleem op te lossen).
Nu bedenk gewoon wat het kost die kist te maken: stel bijvoorbeeld dat het goedkope materiaal x euro/m^2 kost en het duurdere materiaal 2x euro/m^2.
Wat kost het nu om de onderkant van de kist te maken? En de andere zijkanten?
Tel dat bij elkaar op en je hebt je kost.
Verder schrijf bijvoorbeeld

\( h = \frac{V}{l \cdot b} \)

, aangezien het volume constant blijft.
Vul dat in je vergelijking voor je kost en minimaliseer dan die kost.

[Pinokkio]

Ik zie niet hoe dit vraagstuk wiskundig op te lossen is zonder extra gegevens, zoals bijvoorbeeld de verhouding tussen twee afmetingen (H/B of L/B of L/H) of één afmeting (L of B of H).
 

Je hoeft helemaal niet aan te nemen dat één van de zijkanten uit een vierkant bestaat (uiteindelijk zal dit wel het resultaat zijn uiteraard, maar je hoeft dat niet  aan te nemen om dit probleem op te lossen).

Demophilis schijnt te denken van wel, maar ik denk niet dat hij het ook werkelijk geprobeerd heeft, want de optimale oplossing is niet dat de zijkanten vierkant zijn.
 
De optimale oplossing is volgens mij dat de duurdere bodem (en dus ook bovenoppervlak) vierkant is.
Anders gezegd: L/B = 1 , oftewel L = B

[Demophilus]

Demophilis schijnt te denken van wel, maar ik denk niet dat hij het ook werkelijk geprobeerd heeft, want de optimale oplossing is niet dat de zijkanten vierkant zijn.

 
Is die passieve agressiviteit nu werkelijk nodig? Ik heb het wel degelijk geprobeerd, ik bedoelde uiteraard dat de onderkant een vierkant is. Maar opnieuw je moet dat helemaal niet aannemen.
Maar als je ervan overtuigd bent dat dit niet op te lossen valt, hoe weet je dan wat de optimale oplossing wel is?
 
Dit vraagstuk is dus wel degelijk op te lossen, het is simpelweg optimalisatie met een voorwaarde. Dat kan je oplossen met lagrange-multiplactoren.
Neem gewoon een functie de kost voorstelt:

\( f(b,l,h) \)

en de voorwaarde (dus het feit dat u volume 5 m^3 is)

\( g(b,l,h) = 0\)

Dan moet

\( \nabla f(b,l,h) + \lambda \nabla g(b,l,h) = 0\)

Dit geeft dus in totaal vier vergelijkingen met vier variabelen. Wat (onder de goede omstandigheden) perfect wiskundig op te lossen valt.

Ik zal het nu niet invullen, om toch nog enige uitdaging aan de TS over te laten maar hopelijk ben je overtuigd dat het wel kan.

[Pinokkio]

Dit topic volg ik al een paar dagen en telkens meent iemand dat de zijkanten vierkant zijn.
En dat is ook wat jij in post #6 beweerde.
 
Ik reageer zelden op huiswerkvragen, tenzij ik de indruk heb dat de lopende discussie de TS eerder verwart dan helpt. Dusvond ik het in dit geval tijd worden om eens een ander geluid te laten horen zodat de TS niet nog verder in de war gebracht wordt. Dat is geen passieve agressie.
 
Mijn oplossing was overigens niet wiskundig maar iteratief, en dat gaf:
L = 1,4938 m
B = 1,4938 m
H = 2,2407 m
dus een vierkante bodem, wat me trouwens al meteen logischer leek dan vierkante zijkanten.

[Demophilus]

Dit topic volg ik al een paar dagen en telkens meent iemand dat de zijkanten vierkant zijn.
En dat is ook wat jij in post #6 beweerde.

 
Jep, dat is mijn fout en mijn excuses moest ik daarvoor de TS in de war hebben gebracht. 
Alleszins is dit probleem perfect op te lossen met calculus, en ik kan bevestigen dat de methode van lagrange-multiplicatoren dezelfde oplossing levert als de jouwe die je numeriek hebt gevonden.

[mathfreak]

 
 ik kan bevestigen dat de methode van lagrange-multiplicatoren dezelfde oplossing levert als de jouwe die je numeriek hebt gevonden.

Aangezien de topicstartster waarschijnlijk nog middelbaar onderwijs volgt verwacht ik niet dat ze met de multiplicator van Lagrange bekend zal zijn .

[Safe]

@TS
 
Kan je de kostenfunctie opstellen ...
Stel daarbij de kosten standaard op 1 per m² , wat zijn dan de kosten voor de bodem? 
 
Opm: de bedoeling is (aan de hand van de kostenfunctie) te kunnen zien wat je moet doen.