[wiskunde] Maclaurin reeks

[Sarah1]

Je moet aantonen dat de integraal van de Maclaurin expansie van sin x gelijk is aan de Maclaurin expansie van C-cos met C een constante

De integraal van deze Maclaurin expansie van sinx (zie bijlage) is gelijk aan Σ (-1)^k x^(2k + 2) / (2k + 2)!  + C
Maclaurin expansie van cos is echter Σ (-1)^k x^(2k) / (2k)!

Hoe geraak je van het een naar de andere?
 
Alvast bedankt!

[Demophilus]

Schrijf de eerste paar termen van

\( \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{k+2}}{(2k+2)!} + C \)

en van

\(\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{k}}{(2k)!}\)

eens uit, dan zal je wel zien waarom de twee gelijk zijn aan elkaar.

[Sarah1]

als ik een paar termen uitschrijf dan zie ik het verband maar hun tekens zijn hetzelfde 

vanwaar komt die min dan? (de integraal van de Maclaurin expansie van sin x is gelijk aan de Maclaurin expansie van -cos x)

[Demophilus]

Ik ben een beetje gehaast geweest met het typen, ik bedoelde uiteraard de sommen

\(\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{2k+2}}{(2k+2)!} + C\)

en

\(\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{k}}{(2k)!}\)

 

als ik een paar termen uitschrijf dan zie ik het verband maar hun tekens zijn hetzelfde 

vanwaar komt die min dan? (de integraal van de Maclaurin expansie van sin x is gelijk aan de Maclaurin expansie van -cos x)

 
Er is wel degelijk een min ook in de reeks, neem k=0 en vul dit in in

\( \frac{(-1)^k x^{2k+2}}{(2k+2)!}\)

, neem dan k=1 en vul dit in

\(\frac{(-1)^k x^{k}}{(2k)!}\)

. Zie je het?
 
Een andere manier om dit in te zien is door de eerste som een beetje te herschrijven, als volgt

\(\sum_{k=0}^\infty \frac{-(-1)^{k+1} x^{2(k+1)}}{(2(k+1))!}\)

en nu te sommeren over

\( u = k+1\)

.

[Sarah1]

ja nu zie ik het, dankuwel!