Bewijs bolzano adhv. Heine Borel

[Sasorii]

Hallo,

Ik heb een kort bewijs gevonden voor bolzano adhv. heine borel op een engelse site maar ik heb een beetje moeite om het te vertalen.

http://math.stackexchange.com/questions ... el-theorem

Dit heb ik.

Als A een oneindige begrensde deelverzameling, is het sowieso gesloten en begrensd onder een verzameling B. Er volgt dan uit de stelling van Heine borel dat elk open overdekking van B een eindige overdekking B' heeft. Stel nu dat A geen verdichtingspunten heeft in B dus elke punt van A zoals t is in een open bol die kruist met B enkel met 2. Nu deze open bollen maken een open overdekking voor B dat een eindige overdekking B' heeft. Nu A is gesloten onder het nemen van een unie van eindige bollen met voor elke bol maar 1 element voor A. Dus A moet eindig zijn. Maar dit is tegenstrijdig.

Kan iemand helpen alstublieft,

Mijn engels is dus niet zo goed

Alvast bedankt

[Th.B]

Dat bewijs op die site is ook wel enigszins krakkemikkig, maar goed.
 
Op de eerste regel staat niet dat A gesloten en begrensd is in een zekere B, maar er staat dat A bevat is in een gesloten en begrensde verzameling B. We gaan bewijzen dat A een verdichtingspunt heeft in B (en dus in het bijzonder in R).
 
Stel van niet. Een verdichtingspunt P van A is een punt waarvoor geldt: voor alle ε > 0 bestaat de doorsnede van de ε-bol (in R) rond P met A niet alleen uit P. De negatie van 'A heeft een verdichtingspunt in B' is: voor alle P in B geldt, er is een ε > 0 zodat de doorsnede van de ε-bol rond P met A alleen maar P bevat. (*)
 
Merk op dat de schrijver van het bewijs dus A en B heeft omgedraaid, dat klopt volgens mij dus niet.
 
We willen graag de stelling van Heine-Borel toepassen, dus het zou fijn zijn als we naar een of andere open overdekking van B toe kunnen werken. We kiezen de volgende: we pakken voor alle P in B een open bol rond P met eigenschap (*) en nemen de vereniging over alle P in B. Dat is duidelijk een open overdekking van B, dus kies een eindige deeloverdekking. Deze eindige deeloverdekking bestaat uit eindig veel bollen die ten hoogste 1 element van A bevatten, vanwege (*). Ga dit na!
 
Dan volgt overduidelijk dat A eindig is, maar dat was per aanname juist niet het geval. Daarmee is het bewijs afgerond.