sciencetalk

Volgens het bekende Eureka-verhaal van Vitruvius werd Archimedes door koning Hiëro gevraagd te onderzoeken of zijn kroon gemaakt was van puur goud of een goedkoper mengsel van goud en zilver. Archimedes bedacht dat het meten van het volume van de ondergedompelde kroon en berekenen van de dichtheid overtuigend bewijs zou opleveren. Eureka!
 
Er wordt getwijfeld aan dat verhaal. Wiskundige Chris Rorres geeft de volgende schatting (klik). De kroon is geen compact voorwerp. Stel de kroon weegt 1 kg en hij past in een maatcilinder van 20 cm diameter. Dan stijgt het waterniveau bij een mengsel van goud en 30% zilver 0,5 mm hoger dan bij puur goud. Die 0,5 mm is zo weinig dat het niemand zal overtuigen.
 
Bij een keukenmaatbeker valt me op dat het overstromen met een scheut water tegelijk optreedt, i.p.v. met een druppel tegelijk, misschien door oppervlaktespanning en hevelwerking. Dat is ongunstig voor de nauwkeurigheid.

Mijn vraag is of de volumebepaling misschien veel nauwkeuriger is met een overloopvat dan met een maatcilinder. Ik heb geen overloopvat, dus ik heb het niet kunnen uitproberen. 
 
  Overloopvat (overflow vessel)

Ik kan me een voorbeeld over hetzelfde probleem herinneren, waar inderdaad ook uitkwam dat als je de onzekerheden in al je meetgegevens meerekent dat het nog best moeilijk is om aan te tonen of er wel of geen zilver in je voorwerp zit.
 
Toch valt er nog wel wat af te dingen op de halve millimeter die ze noemen in dat artikel. Ze gaan er vanuit dat je de kroon plat in een bak legt. Als je voor een bak kiest waar de kroon rechtop in staat is het oppervlak veel kleiner, en dus zal het water ook meer stijgen.

Volgens Vitruvius (klik) was de meting toch iets geavanceerder. Of zijn verslag zo'n 200 jaar later waarheidsgetrouw is, blijft natuurlijk de vraag. Van Archimedes zelf is hierover geen tekst te vinden.

- hij maakte twee massa's van goud resp. zilver, even zwaar als de kroon
- dompelde de zilveren massa onder in een tot de rand gevuld vat en mat hoeveel water hij na moest vullen nadat het zilver weg was gehaald
- deed hierna hetzelfde met de gouden massa, en mat wederom wat hij bij moest vullen
- toonde aan, dat het verschil voor hem meetbaar was
- deed hierna hetzelfde met de kroon (die verdacht werd van een 50:50 zilver-goud verhouding)
- constateerde dat er bij de kroon meer water moest worden bijgevuld dan bij de gouden massa en toonde zo aan dat de kroon niet van puur goud kon zijn.

Het zal niet perfect geweest zijn, maar verstorende effecten als hevelwerking, oppervlaktespanning lijken hiermee grotendeels geëlimineerd. Vitruvius vermeldt het niet, maar als het werkelijk zo gegaan is, en Archimedes heeft de proef een aantal keren met consistente resultaten herhaald, dan geef ik het een prima kans.

Overigens een leuk proefje om eens zelf te doen, bijvoorbeeld met lood en messing. Eens kijken hoe nauwkeurig de methode in realiteit is.

Volgens Vitruvius (klik) ...

- deed hierna hetzelfde met de kroon (die verdacht werd van een 50:50 zilver-goud verhouding)
- constateerde dat er bij de kroon meer water moest worden bijgevuld dan bij de gouden massa en toonde zo aan dat de kroon niet van puur goud kon zijn.
 
Het zal niet perfect geweest zijn, maar verstorende effecten als hevelwerking, oppervlaktespanning lijken hiermee grotendeels geëlimineerd.

 
Waaruit concludeer je dat de vervalsing een zilvergehalte van 50% zou hebben? Vitruvius zegt niets over het zilvergehalte. Rorres veronderstelde ten hoogste 30%. Ik vermoed dat de vervalsing bij zulke hoge percentages door de mand valt door een te bleke goudkleur.
 
Ik krijg de indruk dat je Vitruvius' versie van de methode vertrouwt omdat hij zelf niets over nauwkeurigheid meldt. Ben je het eens met Rorres' schatting dat het waterniveau voor het soort kroon dat is afgebeeld op de webpagina waarnaar je linkt bij een zilvergehalte van 30% slechts 0,5 mm hoger is dan bij een zilvergehalte van 0%? Dat is zo gering dat het resultaat erg wisselvallig zal zijn.
 
Galileo vertrouwde het verhaal van Vitruvius niet (link):  ... Galileo pointed out in 1586, to prove such metallurgic fakery in the manner Vitruvius ascribes to Archimedes would have required a degree of measurement precision unavailable in ancient times. The difference in the volume of overflow produced by immersing a pure gold crown versus an adulterated one would have been too minute to discern.

 

Toch valt er nog wel wat af te dingen op de halve millimeter die ze noemen in dat artikel. Ze gaan er vanuit dat je de kroon plat in een bak legt. Als je voor een bak kiest waar de kroon rechtop in staat is het oppervlak veel kleiner, en dus zal het water ook meer stijgen.

Dat is inderdaad een verbetering, maar ik zou willen dat Vitruvius zo een verbetering vermeld had.

Waaruit concludeer je dat de vervalsing een zilvergehalte van 50% zou hebben

 

But afterwards a charge was made that gold had been abstracted and an equivalent weight of silver had been added in the manufacture of the crown.

 
Inderdaad, hier staat geen 50% maar een gelijkwaardig gewicht van een onbekende hoeveelheid weggelaten goud.
 

Dat is zo gering dat het resultaat erg wisselvallig zal zijn.

 
Dat zou kunnen, maar als je de proef op de beschreven wijze nauwkeurig uitvoert, heb je niet te maken met die 0,5 mm, maar met 13 cm³ verschil.
Als je het vat telkens volledig aftopt en daarna over laat stromen, zou het wel eens kunnen dat je redelijk dicht bij die hoeveelheid komt. In de tekst wordt alleen gemeld dat de kroon aantoonbaar niet van 100% goud kon zijn. Dus vind je met bij meerdere metingen altijd een overschot aan cc's t.o.v. het pure goud, dan is het afdoende aangetoond.
 
Ik zou dat volledig aftoppen zo aanpakken: Vat vol druppelen totdat het overstroomt. Nu een gemeten hoeveelheid water bijdruppelen totdat het weer overstroomt. We weten nu ongeveer hoeveel water we moeten toevoegen. Vat weer voldruppelen, maar nèt voordat we op basis van de vorige meting verwachten dat het overstroomt stoppen.
 
Vervolgens goud/zilver/kroon toevoegen waarvoor we telkens het vat bijvullen tot dat bijna kritieke niveau. Telkens het overstroomde water opvangen en de inhoud meten. Ik geef dat een heel goede kans.
 
Maar zelf testen geeft natuurlijk pas zekerheid.  Ik zal dit weekend eens een testje doen.

Ik vind het verhaal verdacht. Vitruvius was een leraar, minstens in zoverre als dat hij het nodig achtte een uitgebreid standaardwerk over architectuur te schrijven. Als je een les wil maken dan is een mooi verhaal als intro een "pakker". Daarbij dan refereren aan een bekende geleerde maakt het verhaal nog pakkender. En vervolgens begint de echte les..... 
 
Archimedes was vast wel in staat iets slimmers te bedenken dan wat we in de beschrijving van Vitruvius terugvinden. Ik geef Archimedes meer krediet dan te blijven hangen bij het ruwe idee van het overloopvat voor de benodigde precisie, áls dat idee al stamt van kort na de opdracht van Hiero, en als die opdracht er überhaupt ooit geweest zou zijn. Is er behalve Vitruvius eigenlijk een andere bron voor dat verhaal van Hiero en zijn kroon, los van de oplossing? 
 
Galileï geloofde er ook al geen snars van, althans van de kale dompeltechniek, en schreef "la bilancetta". Archimedes, topwiskundige aan wie we bovendien de theorie achter de hefboom te danken hebben moet voor dit doel (als de rest van het verhaal waar zou zijn) vast zo'n waterbalans hebben gebruikt, al dan niet voorzien van Galileï's verfijningen om het zilvergehalte vrij nauwkeurig te bepalen. De principes waren hem bekend.

Zo'n balans is natuurlijk veel nauwkeuriger, en het is goed mogelijk dat - als Archimedes' 'eureka' verhaal al waar is - hij een dergelijke methode had toegepast, maar dat is hier niet het issue.
 
We kennen dit verhaal alleen van Vitruvius, en de bruikbaarheid van de door hem beschreven meetmethode wordt in twijfel getrokken, dat is m.i. het enige issue waar we hier wat zinnigs over kunnen zeggen/zelf kunnen testen. Ik geef die methode mits nauwkeurig uitgevoerd i.t.t. Rorres en Galilei een goede kans, ook bij 20-30% zilver.

Michel Uphoff schreef:Maar zelf testen geeft natuurlijk pas zekerheid.  Ik zal dit weekend eens een testje doen.

Misschien helpt een scheutje oppervlaktespanningverlagende zeep in het water zodat de meniscus minder bol staat. 

 
Ik zit te denken aan een deksel met een buisje:

Een praktische vraag over die deksel: Hoe krijg je die kroon er in als het deksel er op zit? Of meet je het waterpeil vooraf en achteraf los van elkaar, waarbij je ervan uit gaat dat de deksel altijd precies op dezelfde plek komt?

Ja, de vorige schets werkt niet. Het onderstaande deksel plus overloop is beter, het is een hulpmiddel voor wat Michel volledig aftoppen noemt. De overloopopening bevindt zich op een hoogte waar de breedte van de waterkolom gering is.
 

Er zijn vast verbeteringen te bedenken waarbij je zelfs een inschatting van het zilvergehalte kunt maken, maar als de vraag destijds enkel was 'is dit puur goud of niet' dan zou de door vitruvius voorgestelde werkwijze best werken, aangenomen dat het wel om een forse portie verdunning gaat - een procent of zilver ipv goud zal je er niet mee vinden. 
 
Een andere kwestie met het verhaal is hoe zuiver dat goud uberhaupt kan zijn geweest. Rond 200 BCE was het wel mogelijk om zilver uit een mengsel van zilver en goud (electrum) te verwijderen, maar of je daarmee aan de huidige standaard van 99.9% komt valt te bezien. Bij romeinse munten die puur goud moesten zijn is het gehalte in de orde van 99 procent, maar daar zit alweer een paar honderd jaar techniek tussen. 

Vanmiddag die proef gedaan.
 
Omdat goud en zilver hier niet per kilo voorhanden zijn, heb ik mij beholpen met lood en messing. Nadeel hiervan is dat het dichtheidsverschil tussen lood en messing (1,364:1) een stuk lager is dan die tussen goud en zilver (1,841:1). Daarom ben ik niet van de op zich redelijke 70-30 verhouding maar van 50-50 uitgegaan, wat theoretisch bij 1 kg 50/50 lood/messing een volumeverschil van 15,19 cm³ op moet leveren ten opzichte van 1 kg 100% lood. Dat is redelijk in verhouding met de 13,07 cm³ verschil tussen 1kg 100% goud en 1 kg 70-30 goud-zilver.
 
De materialen en 'meetopstelling':
4 staafjes lood van 250 gram ieder en een staf messing van 500 gram. Een pan van 20 cm diameter, een soeplepel, een trechter die aan het uiteinde met wat kneedwas en een injectienaald omgebouwd was tot druppelaar. Ik heb de opstelling bewust zeer primitief gehouden, en geen moderne middelen gebruikt (ok, op dat statiefje na dan).
   
Eerst heb ik de druppelinhoud van de soeplepel (sl) gemeten: 407 tot 413 druppels bij drie keer meten, 410 druppels gemiddeld.
De pan iets schuin gezet, met een stukje keukenpapier er onder als verklikker (bij een horizontale pan was de locatie waar hij overstroomde een tombola, en lastig te observeren tijdens het moeizame druppelen, nu is er een duidelijke overstroomlocatie).
 
Meetmethode:
De 4 staven lood in de pan, pan vullen en het laatste stukje voorzichtig voldruppelen totdat de pan overstroomde. Heel voorzichtig de aan een stukje garen gebonden staafjes uit de pan vissen (eigenlijk het lastigste werkje, morsen is hierbij fataal voor de nauwkeurigheid). Pan bijvullen met de telkens nauwkeurig afgetopte soeplepel, en het laatste stukje weer voorzichtig druppelen totdat de pan weer overstroomde.
 
Dit drie keer herhaald, resultaten:
1e meting lood: 3 sl + 243 druppels  (1473 druppels)
2e meting lood: 3 sl + 249 druppels  (1479 druppels)
3e meting lood: 3 sl + 278 druppels  (1508 druppels)
Gemiddeld: 1486,6 druppels
 
Vervolgens 2 staven lood en de messing staf in de pan, en dezelfde meetmethode gebruikt
 
Dit drie keer herhaald, resultaten:
1e meting lood+messing: 4 sl + 97 druppels (1737 druppels)
2e meting lood+messing: 4 sl + 119 druppels (1759 druppels)
3e meting lood+messing: 4 sl + 97 druppels (1737 druppels)
Gemiddeld: 1744,3 druppels

 
Conclusie:
Het blijkt verrassend nauwkeuriger dan ik had verwacht. Gemiddeld is het verschil tussen 100% lood en 50-50 lood-messing 257,7 druppels. Hoeveel water er uit de pan gutst als hij overstroomt doet niet ter zake. Als het (zeer voorzichtig druppelen vanaf geringe hoogte) maar telkens ongeveer dezelfde hoeveelheid is, een m.i. zeer redelijke premisse. Dan is alleen het verschil in aantal druppels relevant.
 
Na deze test een maatcilinder vol laten druppelen: 25 cc = 397 druppels. Het gemiddelde aantal druppels was 257,7 en die leveren bij elkaar 16,228 cm³ op.
Theoretisch moest het verschil zijn: 1,00 kg lood (dichtheid 11,35): 88,10 cm³. 0,50 kg lood + 0,50kg messing (dichtheid 8,44): 103,29 cm³. Een verschil van 15,19 cm³
 
Derhalve een meetfout van ongeveer 7%, ik kwam dus op bijna 54% messing. Met meer tests (en geduld) had ik met deze zeer primitieve methode ook een 10% of zelfs wat minder legering betrouwbaar aan kunnen tonen. De methode zoals beschreven door Vitruvius is dus, in tegenstelling tot wat Chris Rorres en kennelijk ook Galileo Galilei melden, goed bruikbaar om het bedrog aan te tonen. Dat maakt het verhaal van Vitruvius nog niet waar. Maar ontkracht, want vrijwel onmogelijk zoals Rorres meldt, is het zeker niet.
 
Ik ben nu toch wel benieuwd naar het commentaar van Galilei, ik kan mij nauwelijks voorstellen dat hij maar wat roeptoeterde. Is daar een betrouwbare bron voor?

Michel Uphoff schreef: Ik ben nu toch wel benieuwd naar het commentaar van Galilei, ik kan mij nauwelijks voorstellen dat hij maar wat roeptoeterde. Is daar een betrouwbare bron voor?

Zijn eigen werk, "La bilancetta" , waar ik ook eerder al naar verwees, betrouwbaar genoeg ?

Ok!
 
Maar Galilei zegt hier niet dat de methode niet had kunnen werken, maar hij vond hem te primitief voor iemand met de kennis waarover Archimedes beschikte. Op zich lijkt mij dit een heel aannemelijk standpunt.
 
Overigens schrijft hij ook dat bij deze methode de precisie ontbrak die nodig was. Voor zover het gaat om het louter aantonen dat er sprake was van een legering i.p.v. puur goud, had hij daarin gezien mijn proefje dan ongelijk (tenzij het goud slechts een zeer geringe hoeveelheid zilver bevatte).
 
Overigens, Galilei heeft het over meer dan een bron. Is er dan nog een andere (liefst vroegere) bron dan het relaas van Vitruvius bekend?

Michel Uphoff schreef: Overigens schrijft hij ook dat bij deze methode de precisie ontbrak die nodig was. ..//.. gezien mijn proefje dan ongelijk 

nou heeft Michelimedes natuurlijk ook wel een heel mooie pan met modern machinaal afgewerkte rand, wat waarschijnlijk wel helpt om bij een voorspelbare overbolling van de waterspiegel te gaan overstromen. Zou je met de gemiddelde schaal uit 200 BC een vergelijkbare herhaalbaarheid vinden?