[wiskunde] Primitieve van a.log(x)

[DrBibber]

Hi!

Ik hoop dat iemand mij kan uitleggen hoe je aan de primitieve functie van a.log(x), bijv. 5.log(2) komt.

Volgens mijn boek geldt er de regel: f(x)= glog x geeft F(x)= 1/ln(g)(x ln(x)-x) + c

Ik zou dan denken dat f(x)=5.log(2) geeft F(x)= 5/ln(10)(2ln(2)-2)+c

Middels mijn antwoordenboek ben ik er dus achter dat dit niet klopt.

F(x)= 5.log(2).x= 5x.log(2) is dan dus juist.

Maar waar komt x ineens vandaan? En hoe moet ik soortgelijke functies primitiveren?

Bedankt alvast!

[EvilBro]

Ik hoop dat iemand mij kan uitleggen hoe je aan de primitieve functie van a.log(x), bijv. 5.log(2) komt.

Hier gaat iets mis. Jouw gegeven voorbeeld is geen functie van de vorm

\(a \cdot \log_{10}(x)\)

. Als het al een functie is dan is het gewoon een constante waarde:

\(f(x) = 5 \cdot \log_{10}(2)\)

 De primitieve van een constante functie is:

\(F(x) = 5 \cdot \log_{10}(2) \cdot x + c\)

 

Volgens mijn boek geldt er de regel: f(x)= glog x geeft F(x)= 1/ln(g)(x ln(x)-x) + c

Je weet dat voor de afgeleide van de natuurlijke logaritme geldt:

\(\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}\)

Dus (mbv de productregel):

\(\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\ln(g)} (x \cdot \ln(x) - x) + c \right) = \frac{1}{\ln(g)} \cdot \left((\ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}) - 1) \right) = \frac{1}{\ln(g)} \cdot \left(\ln(x) + 1 - 1) \right) = \frac{\ln(x)}{\ln(g)} = \log_g(x)\)

Kortom je boek klopt. 

Je moet dus goed opletten om wat voor functie het gaat. Laat je niet misleiden door enkel naar de vorm in globale zin te kijken.

[DrBibber]

Hier gaat iets mis. Jouw gegeven voorbeeld is geen functie van de vorm

\(a \cdot \log_{10}(x)\)

. Als het al een functie is dan is het gewoon een constante waarde:

\(f(x) = 5 \cdot \log_{10}(2)\)

 De primitieve van een constante functie is:

\(F(x) = 5 \cdot \log_{10}(2) \cdot x + c\)

 Je weet dat voor de afgeleide van de natuurlijke logaritme geldt:

\(\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}\)

Dus (mbv de productregel):

\(\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\ln(g)} (x \cdot \ln(x) - x) + c \right) = \frac{1}{\ln(g)} \cdot \left((\ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}) - 1) \right) = \frac{1}{\ln(g)} \cdot \left(\ln(x) + 1 - 1) \right) = \frac{\ln(x)}{\ln(g)} = \log_g(x)\)

Kortom je boek klopt. Je moet dus goed opletten om wat voor functie het gaat. Laat je niet misleiden door enkel naar de vorm in globale zin te kijken.

Oh, ja! Ik zie nu pas wat er mis gaat. Ik zag het inderdaad niet als constante waarde.

Bedankt voor de uitleg!