Dat is inderdaad de kettingregel. In de oude variabelen is u functie van x en t, dus u(x,t); in de nieuwe van ξ en η, dus u(ξ,η). De transformatieformules ξ = x-at en η = x+at bepalen hoe ξ en η functie zijn van x en t, en omgekeerd. Volgens de kettingregel geldt dan voor u(ξ(x,t),η(x,t)):
\(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x}\)
In jouw notatie laat men u (voorlopig) nog weg; uit de transformatieformules volgt bovendien onmiddellijk dat:
\(\frac{\partial \xi}{\partial x}=\frac{\partial \eta}{\partial x}=1\)
zodat je krijgt:
\(\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial \xi}+\frac{\partial}{\partial \eta}\)
Op dezelfde manier volgt:
\(\frac{\partial}{\partial t}=-a\frac{\partial}{\partial \xi}+a\frac{\partial}{\partial \eta}\)