nulruimte

[pinguin159]

Hoe bewijs je dat de nulruimtes van gelijkvormige matrices gelijk/ongelijk zijn?

[RedCat]

Definieer:

\(A=\begin{bmatrix}1 &1 \\1 & 1\end{bmatrix}\)

\(S=\begin{bmatrix}1 & 0 \\1 & 1\end{bmatrix}\)

\(B=SAS^{-1}\)

Wat is de nulruimte van A?
Wat is de nulruimte van B?

[RedCat]

PS: als in je cursus gelijkvormigheid gedefinieerd is als

\(B=SAS^T\)

dan dezelfde vragen met deze B.

[pinguin159]

A oplv: (-k,k)

dimN(A)=1

B =
0 1
0 2

dimN(B)=1

[pinguin159]

B oplv:(k,0)

[TD]

Hoe bewijs je dat de nulruimtes van gelijkvormige matrices gelijk/ongelijk zijn?

De formulering is wel een beetje vreemd. Ofwel hebben gelijkvormige matrices steeds dezelfde nulruimte, en dan kan je dat proberen te bewijzen, ofwel niet, en dan volstaat het om een tegenvoorbeeld te vinden. Maar bewijzen dat ze ongelijk zijn klinkt raar, want ze zijn niet altijd ongelijk: er bestaan immers gelijkvormige matrices met dezelfde nulruimte.

Dat het niet altijd zo is, daarvoor zette RedCat je al op weg. Het is ook eenvoudig te zien aan bijvoorbeeld:

\(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\mbox{ en }\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\)

Wat wél klopt is dat de dimensie van de nulruimtes van gelijkvormige matrices gelijk zijn.