veelvlak

[ukster]

De hoekpuntcoördinaten van een onregelmatig tetrahedron zijn: A(-2,5,3) B(1,6,-4) C(2,0,8) D(-1,4,10)
Middels een vector- en dotproduct heb ik het volume berekend (20?)
Bestaat er een algemene expressie voor het volume van onregelmatige n-vlakken volgens dit principe?

[tempelier]

Mij niet bekend, maar dat zegt niet zo veel natuurlijk.

Wel bestaat er een trucje voor het oppervlak van convexe veelhoeken in het platte vlak..

[Xilvo]

Als je de punten schuift en roteert zodat het eerste punt in de oorsprong ligt, het tweede op de x-as, het derde in het x-y- vlak, dan is het verder simpel.
Maar dat eerste deel is met de hand nogal bewerkelijk.

Ik kom ook op een inhoud van 20.

[tempelier]

Roteren is lastig.

Na de translatie het oppervlak van een driehoek bepalen via het uitprodukt.
Vlak in de normaal vorm brengen en zo de hoogte vinden van de piramide.

Dit lijkt me iets korter.

[TD]

Ik ken geen algemene uitdrukking voor een n-vlak.

Voor een tetrahedron kan het eenvoudig: als A, B, C en D de vier hoekpunten zijn, dan is het volume van het opgespannen parallellepipedum precies de (absolute waarde van) de determinant van drie opspannende zijden, bv. B-A, C-A en D-A. Het volume van een tetrahedron is er 1/6e van, dus bv. 1/6 |det(B-A,C-A,D-A)|.

[Xilvo]

Het volume van een tetrahedron is er 1/6e van, dus bv. 1/6 |det(B-A,C-A,D-A)|.

Mooi!

Ik kon het niet laten het even te proberen, en inderdaad...

[ukster]

Dit zal overeenstemmen met de bewerking van TD
Ik heb niets geschoven of geroteerd om het volume te berekenen. Gewoon alle vier de hoekcoordinaten (vectoren) gebruikt.

Tetrahedron 3384 keer bekeken

Vandaar dat ik dacht dat er een vergelijkbare uitdrukking (maar dan met 4 vectoren) is om het Volume van een pentahedron (5 vlakken, 5 hoekpunten) te berekenen (dit is tenslotte ook een piramide)
voor een n>5-vlak lijkt het me inderdaad teveel van het goede..

[TD]

Ik heb niets geschoven of geroteerd om het volume te berekenen. Gewoon alle vier de hoekcoordinaten (vectoren) gebruikt.

Maar door van de drie andere punten de coördinaten van A af te trekken, heb je eigenlijk verschoven . Door van de vier punten A af te trekken komt A in de oorsprong te liggen, en je "verschuift de andere punten mee".

[ukster]

Aah..

Het volume van een tetrahedron is er 1/6e van, dus bv. 1/6 |det(B-A,C-A,D-A)|.

is die determinant voor het volume van een pentahedron dan gewoon uit te breiden tot 1/6 |det(B-A,C-A,D-A,E-A)|. ??

[ukster]

Mmm... dat zal niet het geval zijn omdat alleen een vierkante matrix een determinant heeft.
Misschien dan toch iets met vectorproduct/dotproduct?

[TD]

De determinant geeft een veralgemening (namelijk het volume van het hyperparallellepipedum opgespannen door de n kolomvectoren, in het geval van een n-maal-n determinant), maar niet wat je zoekt.

[ukster]

Het verschilt maar één hoekpuntje

[tempelier]

Ik ken geen algemene uitdrukking voor een n-vlak.

Voor een tetrahedron kan het eenvoudig: als A, B, C en D de vier hoekpunten zijn, dan is het volume van het opgespannen parallellepipedum precies de (absolute waarde van) de determinant van drie opspannende zijden, bv. B-A, C-A en D-A. Het volume van een tetrahedron is er 1/6e van, dus bv. 1/6 |det(B-A,C-A,D-A)|.

Interessant ik kende deze vorm niet.
Ik kende wel een trucje voor 2-dim maar dat werkt anders.
(wat wel vrij gemakkelijk is om te zetten naar n-hoeken)
Na wat gepruts kon ik het op een soortgelijke wijze met een determinant oplossen.

Waarschijnlijk is het generaliseerbaar naar hogere dimensies.