1 van 1

Maximum probleem in driehoek

Geplaatst: vr 29 jan 2021, 18:34
door Rik Speybrouck
In een driehoek ABC is de zijde AB = 11 en zijde AC = 14 en zijn dus een vast gegeven. De hoeken zijn variabele gegevens evenals de basiszijde BC. Het is dus in feite een driehoek die zich ontwikkeld door tophoek A te vergroten of verkleinen en zo de andere hoeken en de basiszijde mee te laten evolueren. In de tekening is ergens een tussenstand weergegeven. Op de zijden AB en AC zetten we twee vierkanten. De middelpunten van de vierkanten worden verbonden met het middelpunt van de driehoek en met de tophoek A om zo de paarse zone te krijgen.
De uitdaging is 1) hoe groot is de zijde BC geworden wanneer de oppervlakte van de paarse zone haar maximum bereikt.
2) wat is deze oppervlakte

Re: Maximum probleem in driehoek

Geplaatst: ma 01 feb 2021, 21:15
door RedCat
Punt A: uit de cirkelvergelijkingen
xa² + ya² = c²
en
(xa - a)² + ya² = b²
(met gegeven constanten b=14 en c=11) volgt:
xa = (a² + c² - b²) / (2a)
ya = sqrt(c²-xa²) = sqrt(-a4+2(c²+b²)a²-(c²-b²)²) / (2a)

punten G, K en L: via vector constructies:
G = ( (a+xa)/3, ya/3 )
K = ( (xa-ya)/2, (xa+ya)/2 )
L = ( (xa+ya+a)/2, (-xa+ya+a)/2 )

Oppervlak driehoeken AKG en AGL via determinanten:
Opp(AKG) = [a(ya-xa)+2c²] / 12
Opp(AGL) = [a(ya+xa)+2b²] / 12
waarbij xa en ya als hierboven in a gedefinieerd.

Tenslotte via de afgeleide naar a van het totale oppervlak AKGL:
\(\text{a}_{max} = \sqrt{b^2+c^2-bc\sqrt{2}} = \sqrt{317-154\sqrt{2}} \approx 9.9604774682\)
met maximaal oppervlak
\(\text{Opp}_{max} = (b^2 + c^2 + 2bc\sqrt{2})/12 = (317 + 308\sqrt{2})/12 \approx 62.7148147675761\)

Leuk probleem, met onderweg veel termen die tegen elkaar wegvallen.
PS: ik hoop dat ik nergens een misstap heb gemaakt.

Re: Maximum probleem in driehoek

Geplaatst: di 02 feb 2021, 11:05
door Rik Speybrouck
RedCat schreef: ma 01 feb 2021, 21:15 Punt A: uit de cirkelvergelijkingen
xa² + ya² = c²
en
(xa - a)² + ya² = b²
(met gegeven constanten b=14 en c=11) volgt:
xa = (a² + c² - b²) / (2a)
ya = sqrt(c²-xa²) = sqrt(-a4+2(c²+b²)a²-(c²-b²)²) / (2a)

punten G, K en L: via vector constructies:
G = ( (a+xa)/3, ya/3 )
K = ( (xa-ya)/2, (xa+ya)/2 )
L = ( (xa+ya+a)/2, (-xa+ya+a)/2 )

Oppervlak driehoeken AKG en AGL via determinanten:
Opp(AKG) = [a(ya-xa)+2c²] / 12
Opp(AGL) = [a(ya+xa)+2b²] / 12
waarbij xa en ya als hierboven in a gedefinieerd.

Tenslotte via de afgeleide naar a van het totale oppervlak AKGL:
\(\text{a}_{max} = \sqrt{b^2+c^2-bc\sqrt{2}} = \sqrt{317-154\sqrt{2}} \approx 9.9604774682\)
met maximaal oppervlak
\(\text{Opp}_{max} = (b^2 + c^2 + 2bc\sqrt{2})/12 = (317 + 308\sqrt{2})/12 \approx 62.7148147675761\)

Leuk probleem, met onderweg veel termen die tegen elkaar wegvallen.
PS: ik hoop dat ik nergens een misstap heb gemaakt.
ik kom tot dezelfde waarden hoor maar via een uitwerking met driehoeksmeetkunde die toewerkt naar de ideale tophoek zijnde 45 graden. Ik moet alles nog een beetje proper op papier zetten en dan zet ik het online.

Re: Maximum probleem in driehoek

Geplaatst: wo 03 feb 2021, 15:57
door ukster
ik heb geprobeerd dit vraagstuk op te lossen!
maximale oppervlakte
Naast de gegeven lengtes 11 en 14, tophoek α gebruik ik een hulphoek β
de lengte BC stel ik op x.
1.Hiermee de Polygon coordinaten bepaald (A,K,G,L)
2. Polygonoppervlakte bepaald met matrixes en determinanten
3. dA/dx nul gesteld.
4. Hiermee x berekend (x=8,6)
Dit geeft een(maximale) oppervlakte van 64,226
bij een tophoek α=37,9°
Gezien de uitkomst van RedCat en de stelligheid waarmee Rik beweert dat de (optimale) tophoek 45°is zal ik in dit proces wel ergens een fout hebben gemaakt vermoed ik. :D

Re: Maximum probleem in driehoek

Geplaatst: wo 03 feb 2021, 16:27
door Rik Speybrouck
hierbij een uitwerking met driehoeksmeetkunde en op het einde een differentiaal

Re: Maximum probleem in driehoek

Geplaatst: wo 03 feb 2021, 19:08
door ukster
Fout gevonden..! de opppervlakte is altijd positief, abs toegevoegd!
oppervlakte polygon
oppervlakte polygon 2702 keer bekeken

Re: Maximum probleem in driehoek

Geplaatst: do 04 feb 2021, 18:53
door ukster
tophoek α!
0 < α < 38,1° lijkt een praktisch lineaire toename van de oppervlakte
38,1° < α < 180° curved verloop!
attachment=0]max area.png[/attachment]