oppervlakte cirkelsector

[Rik Speybrouck]

Er wordt een parallellogram getekend met een zijde van 1 cm en een zijde van 2 cm en een hoek van 60°. De zijden AO en CO worden een stuk verlengd. Vanuit PUNT B wordt een deel van een cirkelboog getrokken met straal van wortel(157) die de verlengstukken kruist in punten E en D.
Maar wat is het oppervlak van de sector bekeken vanuit punt O dus sector EOD ?

[ukster]

Na wat meetkundig gerommel kom ik uit op 52,544

[Rik Speybrouck]

Na wat meetkundig gerommel kom ik uit op 52,544

ik beschik over een mooi uitgewerkt bewijs, het vreemde is dat die wortel 157 blijkbaar niet zo maar is gekozen. Met deze waarde resulteert de lengte od in een waarde 10 zonder decimalen dus mooi rond getal

[ukster]

de waarde OD=10 heb ik ook gevonden
berekend: DE=10,211
oppervlakte ΔEOD=45,075
en dan cirkelsegment met koorde DE en straal R=√153.
oppervlakte =7,4688
totaal oppervlak sector EOD 52,544

[Rik Speybrouck]

de waarde OD=10 heb ik ook gevonden
berekend: DE=10,211
oppervlakte ΔEAD=45,075
en dan cirkelsegment met koorde DE en straal R=√153 oppervlakte =7,4688
totaal oppervlak sector EOD 52,544

wens je eventueel een uitvoerig bewijs, is wel 4 blz lang

[ukster]

ja, laat maar zien
is mijn antwoord overigens correct? (1 A4-tje)

[ukster]

de waarde OD=10 heb ik ook gevonden
berekend: DE=10,211
oppervlakte ΔEAD=45,075
en dan cirkelsegment met koorde DE en straal R=√157
Oppervlakte =7,4688
totaal oppervlak sector EOD 52,544

[Rik Speybrouck]

Je waarde is inderdaad juist. Deze redenering in bijlage is wel zodanig uitgewerkt dat er in principe geen rekenmachine nodig is om tot de eindformule te komen. het vreemde is gezien ik alle mogelijke hoeken en zijden kan berekenen heb ik een exel file samengesteld waarbij ik vertrek van de sector BED en daarna worden de dubbele oppervlakten afgetrokken en dan kom ik op 52.27580 cm vierkant. Een kleine afwijking dus, waarschijnlijk als ondoorgrondelijk te omschrijven.

[ukster]

Mooi
ik heb naast pythagoras de sinusregel ,de cosinusregel en een substitutie in de strijd gegooid.

[Rik Speybrouck]

Mooi
ik heb naast pythagoras de sinusregel ,de cosinusregel en een substitutie in de strijd gegooid.

via een excel file stel je vast dat wanneer je een ander getal dan wortel 157 gebruikt die mooi tien verloren gaat

[ukster]

Structuur kenmerkt jouw uitwerkingen..
Persoonlijk herken ik meestal niet meer terug wat ik heb bedoeld en of opgeschreven

[RedCat]

Hier nog een oplossing met gebruik van de formule van Heron:

Snijpunten cirkel:
Punt D: lijn y=0 snijden met cirkel: D=(10,0)
Punt E: lijn y=sqrt(3)*x snijden met cirkel:

\(E_x = \sqrt{38.5} - 1 \;\approx 5.204836822995428298\)

\(E_y = E_x \cdot \sqrt{3} \;\approx 9.015041822533461226\)

Segment:
Lengte segmentkoorde DE:

\(DE = \sqrt{(E_x-10)^2+E_y^2} \;\approx 10.2110023482578833\)

Segment straal R:

\(R=\sqrt{157}\)

Segmenthoek theta (in radialen):

\(\theta = 2\cdot \text{asin}\left(\frac{DE/2}{R}\right) \;\approx 0.83934928811638\)

Oppervlak van het segment:

\(\text{Area}(segment)=\frac{1}{2} R^2 (\theta-\sin(\theta)) \;\approx 7.46854116301291\)

Driehoek ODE:

\(o=DE \;\approx 10.2110023482578833\)

\(d=OE=\sqrt{E_x^2+E_y^2} \;\approx 10.40967364599\)

\(e=OD=10\)

Formule van Heron:
Halve omtrek:

\(s=(o+d+e)/2 \;\approx 15.310337997124\)

Oppervlak driehoek ODE:

\(\text{Area}(\triangle ODE)=\sqrt{s(s-o)(s-d)(s-e)} \;\approx 45.075209112667306\)

Oppervlak van het totale gebied:

\(\text{Area}(segment)+\text{Area}(\triangle ODE) \;\approx 52.54375027568022\)