getallenverzameling

[aadkr]

eerst hebben we de verzameling der natuurlijke getallen.(N)
damt de verzameling der gehele getallen (Z). N is deelverzameling van Z
dan komt de verzameling van de rationale getallen Q
Dan komt er weer een uitbreiding. dit is de verzameling der irrationale getallen. Bijvoorbeeld de wortel uit een getal uit N wat niet mooi uitkomt.
Maar vormt dit dan uiteindelijk de verzameling der reële getallen? ( ik denk het niet)
Want in de verzameling der irrationale getallen zitten toch niet pi en e(2,718...) en log 7 en Ln(5) als voorbeeld.
Welke deelverzamelingen zitten er nu echt in de verzameling der reële getallen R ??

[Xilvo]

π en e zijn wel degelijk irrationale getallen.

[TD]

eerst hebben we de verzameling der natuurlijke getallen.(N)
damt de verzameling der gehele getallen (Z). N is deelverzameling van Z
dan komt de verzameling van de rationale getallen Q
Dan komt er weer een uitbreiding. dit is de verzameling der irrationale getallen.

Als je het op die manier voorstelt, zou je na N, Z en Q moeten zeggen dat de volgende uitbreiding R is: de reële getallen. Die omvatten Q, net zoals Q ook Z omvatte en Z ook N omvatte.

De irrationale getallen zijn net de getallen die aan Q toegevoegd worden om R te vormen of, anders gezegd, de irrationale getallen zijn de reële getallen die niet rationaal zijn (zoals pi en e).

[tempelier]

Er zijn meerdere uitbreidingen, maar die hebben geen vast symbool dit zijn er twee van.

1. De radicalen: Dat zijn alle wortel vormen.
2. De algebraïsche getallen dat zijn de oplossingen van alle polynomen met gehele coëfficiënten.

Dit zijn alle niet-transcendente getallen.
De trancerente met de niet-trancerente vormen de reële getallen.

Deze laatsten worden meestal vastgelegd met behulp van Cauchy reeksen.

[ukster]

Moet hier nog iets aan worden toegevoegd of gewijzigd?

[tempelier]

5+i is geen zuiver imaginair getal.

De gehele getallen van Gauss ontbreken.

[Xilvo]

5+i is geen zuiver imaginair getal.

5*i wel. Maar het is inderdaad moeilijk te lezen

[Bart23]

Je kan nog verder gaan dan de complexe getallen: quaternionen, octonionen, sedenionen ofalgemeen hypercomplexe getallen.
Je kan ook een andere richting inslaan: R krijg je door de limieten van Cauchyrijtjes van rationale getallen 'toe te voegen'. Hierbij maak je gebruik van het normale afstandsbegrip, zoals in: de afstand tussen 7 en 23 is |7-23|=16.
Als je nu een ander afstandsbegrip hanteert (via de zogenaamde p-norm) krijg je een heel andere uitbreiding van Q en kom je in de wondere wereld van de p-adische getallen. Die je opnieuw kan uitbreiden door oplossingen van veeltermvergelijkingen toe te voegen, en die weer te vervolledigen met Cauchyrijtjes en... (gelukkig stopt het ergens)
Andere piste: "surreal numbers", uitgevonden door John Conway (zaliger wegens Corona), die ook R bevatten (en eigenlijk ook C)
Nog een andere uitbreiding van R zijn de 'hyperreal numbers'
Er zijn misschien nog andere mogelijkheden, waar ik nu zo niet direct aan denk. Alleszins is het niet echt mogelijk een overzichtelijk schema te maken van alle mogelijke uitbreidingen.

[tempelier]

5+i is geen zuiver imaginair getal.

5*i wel. Maar het is inderdaad moeilijk te lezen

Je hebt gelijk.

Maar het is wel potdorie de tweede keer dat me dat deze week is gebeurd.

[tempelier]

Je kan nog verder gaan dan de complexe getallen: quaternionen, octonionen, sedenionen ofalgemeen hypercomplexe getallen.
Je kan ook een andere richting inslaan: R krijg je door de limieten van Cauchyrijtjes van rationale getallen 'toe te voegen'. Hierbij maak je gebruik van het normale afstandsbegrip, zoals in: de afstand tussen 7 en 23 is |7-23|=16.
Als je nu een ander afstandsbegrip hanteert (via de zogenaamde p-norm) krijg je een heel andere uitbreiding van Q en kom je in de wondere wereld van de p-adische getallen. Die je opnieuw kan uitbreiden door oplossingen van veeltermvergelijkingen toe te voegen, en die weer te vervolledigen met Cauchyrijtjes en... (gelukkig stopt het ergens)
Andere piste: "surreal numbers", uitgevonden door John Conway (zaliger wegens Corona), die ook R bevatten (en eigenlijk ook C)
Nog een andere uitbreiding van R zijn de 'hyperreal numbers'
Er zijn misschien nog andere mogelijkheden, waar ik nu zo niet direct aan denk. Alleszins is het niet echt mogelijk een overzichtelijk schema te maken van alle mogelijke uitbreidingen.

Je vergeet een andere uitbreiding van C door duale of binaire getallen.

Maar geen van al die uitbreidingen zijn nog een lichaam zoals je stellig weet.
Ik denk dat de meesten onbewust die voorwaarde meenemen.

PS.

Zelf vind ik restklassen met uitbreiding wel leuk.
In zo'n systeem kan het aantal vierkantsvergelijkingen eindig zijn.

[Math-E-Mad-X]

Binnen de reële getallen mis ik vooral de verzameling der 'turing computable numbers'. Dit is de verzameling van alle reële getallen die we met een computer (of algoritme) bij bendadering op kunnen schrijven en bevat dus ook getallen als pi en e.

Het bizarre is dat deze verzameling aan de ene kant vrijwel alle getallen bevat waar we ons in de wiskunde maar mee bezig kunnen houden, maar aan de andere kant nog steeds slechts een aftelbare verzameling is, en dus nog steeds slechts een extreem kleine deelverzameling van R is.

[Professor Puntje]

Een interessante onopgeloste vraag is nog of er een deelverzameling van \( \mathbb{R} \) bestaat met een grotere machtigheid dan die van \( \mathbb{N} \) en een kleinere machtigheid dan die van \( \mathbb{R} \).

[tempelier]

Een interessante onopgeloste vraag is nog of er een deelverzameling van \( \mathbb{R} \) bestaat met een grotere machtigheid dan die van \( \mathbb{N} \) en een kleinere machtigheid dan die van \( \mathbb{R} \).

Dat zal waarschijnlijk nooit worden beslist.

De een of andere slimmerik heeft eens bewezen dat als men aanneemt dat de transfiniete getallen met stapjes gaan er geen contradicties ontstaan.

Helaas:

Een andere slimmerik heeft bewezen dat als men aanneemt dat er tussen twee tranfiniete getallen altijd weer eentje zit dat er dan ook geen contradicties ontstaan.

Hilbert zou zich in zijn graf omdraaien en Brouwer zou zich doodlachen.

PS.
Er liggen volgens mij nog heel wat problemen op de plank.
Zoals zijn er nog grotere getallen dan de Haleb rij.

[Professor Puntje]

Het probleem is volgens mij dat de huidige axioma's van de verzamelingenleer het begrip verzameling niet scherp genoeg vast leggen. Een aanvullend maar even goed evident axioma zou uitkomst kunnen bieden.

De "Haleb rij" is mij onbekend, en Google levert diverse autorijscholen op....

[Math-E-Mad-X]

Het probleem is volgens mij dat de huidige axioma's van de verzamelingenleer het begrip verzameling niet scherp genoeg vast leggen.

Zo zou je dat inderdaad kunnen zeggen. De gebruikelijke axioma's van de verzamelingenleer laten de continuum hypothese toe, maar je kan ook stellen dat hij niet waar is.

Een aanvullend maar even goed evident axioma zou uitkomst kunnen bieden.

Ja, maar het punt is dat je de continuum hypothese zelf als axioma toe kan voegen, maar je kan ook juist de ontkenning van de continuum hypothese als axioma toevoegen.

De kwestie is dus niet of we wel of niet de juiste axioma's kunnen vinden om het vraagstuk op te lossen, want er is geen open vraagstuk. Het vraagstuk is al beantwoord: je kan zelf kiezen of je de continuum hypothese wel of niet als 'waar' wil opvatten.