[wiskunde] Parametervergelijking

[Valerion]

Dag allemaal

Ik loop vast bij de volgende oefening.

Gegeven de kromme in parametervorm: x = cos³(t) en y = 3*sin³(t)

a)Bepaal de periode van de kromme: Is volgens mij [0;2ϖ]
b)Stel t = ϖ/3 met welke cartesische coördinaat komt dat overeen?: Ik kom hiervoor (0.125; 1.95) uit. 1.95 is een afgerond getal.
c)Berekenen in het xy-vlak de snijpunten van de rechte y=x+2 met de kromme. Hier loop ik vast.
Ik kan het op twee manieren aanpakken:

1° Ik schrijf de parameter vorm van de kromme om naar cartesische vorm en stel dan y1 = y2 en solve voor x. .

Cartesisch vorm: ³√(x²) + ³√(y²/9) = 1 (Impliciete vergelijking)

Deelfunctie 1: y = 3*√(1-(³√x²))³
Deelfunctie 2: y = -3*√(1-(³√x²))³

Maar ik weet zeker dat de rechte niet zal snijden met deelfunctie 2 dus beschouw ik ze verder niet.

x + 2 = 3*√(1-(³√x²))³

Wanneer ik dus probeer te solven voor x wordt het steeds complexer. Ik ben dus ook halverwege gestopt



2° Ter hoogte van de snijpunten geldt de parametervorm van kromme omdat de kromme en de rechte elkaar daar kruisen. Ik zou dan y = x + 2 omschrijven naar 3*sin³(t) = cos³(t) + 2 en vervolgens solven naar t. Maar dit vind ik niet zo simpel. Is er misschien een speciale trig identiteit (die ik niet ken) waarmee t gemakkelijk te vinden is?


Groetjes

Valerion

[TD]

a)Bepaal de periode van de kromme: Is volgens mij [0;2ϖ]
b)Stel t = ϖ/3 met welke cartesische coördinaat komt dat overeen?: Ik kom hiervoor (0.125; 1.95) uit. 1.95 is een afgerond getal.
c)Berekenen in het xy-vlak de snijpunten van de rechte y=x+2 met de kromme. Hier loop ik vast.
Ik kan het op twee manieren aanpakken:

2° Ter hoogte van de snijpunten geldt de parametervorm van kromme omdat de kromme en de rechte elkaar daar kruisen. Ik zou dan y = x + 2 omschrijven naar 3*sin³(t) = cos³(t) + 2 en vervolgens solven naar t. Maar dit vind ik niet zo simpel. Is er misschien een speciale trig identiteit (die ik niet ken) waarmee t gemakkelijk te vinden is?

a) Een periode is een getal, geen interval, maar het klopt wel dat de kromme één keer doorlopen wordt als t het interval [0,2*pi] doorloopt.

b) Klopt, maar waarom afronden? Het is een 'gekende' hoek, het punt heeft coördinaten (1/8, 9*sqrt(3)/8).

c) Is het de bedoeling om het snijpunt 'exact' / 'met de hand' te vinden, of mag je je rekenmachine gebruiken?

[Valerion]

a) Een periode is een getal, geen interval, maar het klopt wel dat de kromme één keer doorlopen wordt als t het interval [0,2*pi] doorloopt.
b) Klopt, maar waarom afronden? Het is een 'gekende' hoek, het punt heeft coördinaten (1/8, 9*sqrt(3)/8).
c) Is het de bedoeling om het snijpunt 'exact' / 'met de hand' te vinden, of mag je je rekenmachine gebruiken?

Voor a) Ok, dus de periode is eigenlijk gewoon 2pi?

Voor b) Mijn rekenmachine gaf 1.948.... aan dus heb het afgerond. Heb het nog niet omgeschreven naar 9*sqrt(3)/8), ik zal dat eens proberen.

Voor c) Ik weet niet of ik het rekenmachine mag gebruiken. Ik ben namelijk de cursus als zelfstudie aan het doornemen als voorbereiding voor volgend jaar wanneer ik het vak effectief ga volgen. Ik denk dat het kennen van beide oplosmethodes een meerwaarde is, maar weet dus niet meteen 'hoe'.

[mathfreak]

Kijk eens of je iets kunt met x²-y² = ..., waarbij je de uitdrukkingen in t gebruikt.

[TD]

Voor a) Ok, dus de periode is eigenlijk gewoon 2pi?

Voor b) Mijn rekenmachine gaf 1.948.... aan dus heb het afgerond. Heb het nog niet omgeschreven naar 9*sqrt(3)/8), ik zal dat eens proberen.

Voor c) Ik weet niet of ik het rekenmachine mag gebruiken. Ik ben namelijk de cursus als zelfstudie aan het doornemen als voorbereiding voor volgend jaar wanneer ik het vak effectief ga volgen. Ik denk dat het kennen van beide oplosmethodes een meerwaarde is, maar weet dus niet meteen 'hoe'.

a) Klopt.

b & c) Maar bij b doe je het dan wel met de rekenmachine? Dat lijkt me zeker iets dat zonder 'moet kunnen' en misschien ook wel verwacht wordt. Voor c zou je dat toch best nagaan.

[mathfreak]

Bedenk dat x^1/3 = cos t en 1/3y^1/3 = sin t en dat sin²t+cos²t = ...

[Valerion]

Bedenk dat x^1/3 = cos t en 1/3y^1/3 = sin t en dat sin²t+cos²t = ...

Ik heb de parametervergelijking al omgeschreven naar de cartesisch vorm uitgaande van de hoofdregel van trigoniometrie.

F(x,y) = ³√(x²) + ³√(y²/9) = 1

Maar liep dan vast bij vraag C omdat het precies complexer werd in plaats van vereenvoudigd.

Daarmee dat ik vraag C wilde oplossen als:
y = x + 2 (rechte) maar op de snijpunten geldt 3*sin³(t) = cos³(t) + 2 maar ik kwam dan niet verder wanneer ik het op papier wil oplossen. Met het rekenmachine lukt het me om de oplossing te vinden. Maar ik ben niet zo een fan van het rekenmachine gebruiken.


Als het zonder rekenmachine kan dan hoor ik dat dus graag!