sciencetalk

De vraag luidt:
Wanneer je een projectiel wegschiet met snelheid v0 onder een hoek θ vanaf hoogte 0m en je wil de bovenkant van een gebouw raken met hoogte h en afstand d, welke θ is dan nodig?

Mijn uitwerking:
Voor de horizontale verplaatsing geldt
d=v0cosθ * t', met t' het tijdstip waarop het projectiel aankomt op afstand d en hoogte h.
Dus t' = d / (v0cosθ)

Dit invoeren in de verticale verplaatsing:
h = v0sinθ * t' - 1/2gt'^2 =d tanθ - (g*d^2) / 2v0^2cos^2θ en hier krijg ik door verder uit te werken de θ niet afgezonderd.

Het antwoord luidt: θ = arctan (2h/d)

Ik kom daar in de verste verte niet bij in de buurt. En ik vind het ook gek dat de gravitatie g er niet in voorkomt.

Wie o wie helpt me uit de brand?

Het is niet alleen vreemd dat g er niet in voorkomt, het is ook vreemd dat v₀ er niet in voorkomt.

Het is altijd handig een extreem voorbeeld te kiezen om te zien of de formule klopt.
Als v₀ extreem groot wordt ("oneindig") en/of als g=0, dan wordt de baan een rechte lijn en moet gelden θ = arctan (h/d).
Volgens mij is het antwoord fout. Heb je het volledige vraagstuk hier geplaatst?

Edit: Als bedoeld wordt dat de hoogte h ook het hoogste punt is dat het projectiel bereikt, dan klopt het wel en is het eenvoudig op te lossen.

Ik denk dat je gelijk hebt en dat de vraag dusdanig luidt dat hoogte h het hoogste punt van de parabool is. (En dat daar dus precies het gebouw staat).

Maar dan mis ik alsnog de eenvoudige weg die je zegt.

Ik kom tot:
Dan geldt h = h + v0sinθ - 1/2 g t'^2 en bijgevolg: t' = 2v0sinθ / g
en voor de horizontale verplaatsing: d=v0cosθt' en bijgevolg t'=d/v0cosθ
Deze 2 zijn uiteraard aan elkaar gelijk en dan volgt cos2θ = dg / v0^2 en derhalve θ=arccos(dg/v0^2) / 2

Het kan veel eenvoudiger. De baan is een parabool. Stel het hoogste punt y=h ligt bij x=0. Dan is de hoogte y=0 bij x=d.
Bepaal die vergelijking en de afgeleide (=tan(θ)) bij x=d.

Grrr, lukt niet. Er zit sowieso een fout in mijn y(t). Deze moet zijn y(t)=0+v0sinθ - 1/2gt^2. (en niet y(t)=h+....)
Maar wel fijn dat je zo snel reageert. Ik wil deze likdoorn verwijderen. Overigens komt chatgpt er ook niet uit

In jouw voorstel:
y(t)=h - 1/2gt^2 en x(t)=v0cosθt
Met h=0 voor t', dan t' = sqrt(2h/g) en t' = d/(v0cosθ). De boel gelijkstellen en θ = arccos(d/(v0sqrt(2h/g))

Vergeet die bewegingsvergelijkingen, je weet toch al dat de baan een parabool is.
Stel de vergelijking van die parabool op, met de eisen die ik in m'n vorige bericht schreef.

ok, dan y(x)=h - (h/d^2)x^2 en dus y'(x)=-2h/d^2*x en derhalve y'(d)=-2h/d. Het minteken mag ook plus geschreven worden. Is immers dezelfde hoek (overstaande hoeken).
Tja, dan zijn we er inderdaad. Raaklijn maakt deze hoek θ met x-as.

Interessant. Even out-of-the-box denken.

Dank u!