sciencetalk

Hoi, voorlopig mijn laatste vraag (wederom afkomstig uit nationale finale van de Wiskunde-olympiade): de hoekpunten van een regelmatige 4-hoek, 6-hoek en 12-hoek kunnen in een punt samengebracht worden om samen een volledige hoek van 360◦ te vormen. Bepaal alle drietallen a, b, c ∈ N met a < b < c waarvoor de hoeken van een regelmatige a-hoek, b-hoek en c-hoek samen ook 360◦ vormen.

Mijn redenering was als volgt: de in dit punt rakende hoek van een regelmatige n-hoek wordt gegeven door 180◦ - 360◦/n (e.g., voor een zeshoek geldt 180◦ - 360◦/6 = 120◦). Om te beginnen geldt dus voor de a-hoek 3 ≤ a ≤ 6, want een "tweehoek" bestaat niet en de hoeken worden steeds groter, dus 120◦ (i.e., zeshoek) + 2 x hoek >120◦ bij "n>6"-hoek >360◦ en kan dus niet. Er zijn 24 delers van 360, waarvan veel van de laatste (e.g., een regelmatige 120-hoek met 177◦) afvallen omdat hiermee geen passende combinaties te vinden zijn. Als ik dan de combinaties een voor een bekijk, kom ik uit op vijf mogelijke combinatie voor a,b,c, namelijk: 3,8,24 (60,135,165); 3,9,18 (60,140,160); 3,10,15 (60,144,156); 4-5-20 (90,108,162) en 4-6-12 (90,120,150), ervan uitgaand dat bijvoorbeeld een driehoek, zeshoek en "oneindighoek" niet toegestaan is, haha.

Iemand een idee of dat klopt? Ik kan het antwoord niet terugvinden.

Hopelijk niet te vaag door de maximale grootte.

Eentje tussendoor geglipt dan, haha