Laatste vraag (voorlopig): raakpunt drie veelhoeken

[PhilipVoets]

Hoi, voorlopig mijn laatste vraag (wederom afkomstig uit nationale finale van de Wiskunde-olympiade): de hoekpunten van een regelmatige 4-hoek, 6-hoek en 12-hoek kunnen in een punt samengebracht worden om samen een volledige hoek van 360◦ te vormen. Bepaal alle drietallen a, b, c ∈ N met a < b < c waarvoor de hoeken van een regelmatige a-hoek, b-hoek en c-hoek samen ook 360◦ vormen.

Mijn redenering was als volgt: de in dit punt rakende hoek van een regelmatige n-hoek wordt gegeven door 180◦ - 360◦/n (e.g., voor een zeshoek geldt 180◦ - 360◦/6 = 120◦). Om te beginnen geldt dus voor de a-hoek 3 ≤ a ≤ 6, want een "tweehoek" bestaat niet en de hoeken worden steeds groter, dus 120◦ (i.e., zeshoek) + 2 x hoek >120◦ bij "n>6"-hoek >360◦ en kan dus niet. Er zijn 24 delers van 360, waarvan veel van de laatste (e.g., een regelmatige 120-hoek met 177◦) afvallen omdat hiermee geen passende combinaties te vinden zijn. Als ik dan de combinaties een voor een bekijk, kom ik uit op vijf mogelijke combinatie voor a,b,c, namelijk: 3,8,24 (60,135,165); 3,9,18 (60,140,160); 3,10,15 (60,144,156); 4-5-20 (90,108,162) en 4-6-12 (90,120,150), ervan uitgaand dat bijvoorbeeld een driehoek, zeshoek en "oneindighoek" niet toegestaan is, haha.

Iemand een idee of dat klopt? Ik kan het antwoord niet terugvinden.

[Bart23]

Hopelijk niet te vaag door de maximale grootte.

[PhilipVoets]

Eentje tussendoor geglipt dan, haha