sciencetalk

Voor een zekere functie f(x) geldt voor alle x en y dat f(xy) = f(x) + f(y). Wat is f(0,5) + f(1) + f(2)?
Ik dacht het volgende: de functie moet log(x) zijn, immers: log(ab) = log(a) + log(b), dus dan geldt: log(0,5) + log(1) + log(2) = log(0,5) + 0 + log(2) = log(0,5*2) = 0
Klopt mijn redenering? Dank!

Het doet er niet zo toe dat of het een log-functie is. Je kunt het aantonen zonder dat "stiekem al te weten".

Immers, f(0.5) + f(2) = f(1), en dus f(0.5) + f(1) + f(2) = f(1) + f(1) = f(1*1) = f(1)

Maar f(1) + f(1) = f(1), dat kan alleen als f(1)=0

Dus f(0.5) + f(1) + f(2) = 0

Scherp!

Als het moeten gelden voor ALLE x en y, kan het enkel over de constante nulfunctie gaan.
Kies x willekeurig, stel y=0, dan volgt: f(0)=f(x.0)=f(x)+f(0), dus f(x)=0. Dan is de redenering met log eigenlijk niet helemaal juist.

Geldt f(x) = 0 überhaupt als een “functie van x”? Waarschijnlijk wel, maar dat had ik me niet zo gerealiseerd

Zeker, de beeldwaarde hangt inderdaad niet af van x, maar het is wel degelijk een functie. Gelukkig zijn er definities die alle twijfel wegnemen.
Merk op dat als je zou zeggen "voor alle strikt positieve x en y", een veelvoud van de logaritmische functie (met eender welk grondtal) ook een optie was. Als je eist dat f continu is zelfs de enige optie, maar er zijn zeer vreemde ('pathologische') oplossingen mogelijk als je deze eis weglaat. Eens dat x of y gelijk aan nul toegelaten wordt, blijft de nulfunctie als enige over (zelfs als je over de complexe getallen werkt)