📘 Differentiëren: Wat, Waarom, Hoe

[Sjoerd Job]

Wat is differentiëren?

Wanneer wij differentiëren, krijgen wij het richtingscoëfficiënt van de grafiek op het punt (x, f(x)). Deze nieuwe functie kunnen we dan gebruiken om interessante feiten over de originele functie te weten te komen, zoals:

Toppen

Snelste stijgingen

Dalen

Waarom willen we dit weten?

Optimalisaties
Bijvoorbeeld: de oppervlakte van een cilinder met een constante inhoud – we willen weten bij welke straal we het minst metaal gebruiken.
Tip: het richtingscoëfficiënt is 0 op een top → los op: f'(x) = 0

Snelheid berekenen

We hebben f(t), een functie voor afstand.

f'(t) = snelheid (m/s)

f''(t) = versnelling
Wil je weten wanneer iemand het snelst fietst? Los dan op: f''(t) = 0

Het richtingscoëfficiënt benaderen of berekenen

Onnauwkeurig: Tekenen en Meten
Teken f(x), trek een raaklijn, kies 2 punten, bereken:
Δf / Δx

Functiewaarden dicht bij elkaar gebruiken
Benadering:
(f(x + h) - f(x)) / h met een heel kleine h
Deze methode benadert de afgeleide goed, zeker bij kleine waarden van h.

Exact en theoretisch: Limiet naar 0
Gebruik:
\frac{f(x+Δx) - f(x)}{Δx}
Laat Δx → 0 gaan
Na vereenvoudigen hou je de exacte afgeleide over.

Sneller en exact differentiëren

Wiskundigen hebben regels ontdekt om snel afgeleiden te berekenen.

Notatie & regels

f’(x): eerste afgeleide

f’’(x): tweede afgeleide

[functie]’: afgeleide van een complexe uitdrukking

Basisregels

(a + b)’ = a’ + b’

(C ⋅ a)’ = C ⋅ a’

(a^C)’ = C ⋅ a^(C–1)

Tot slot

Wiskunde bouwt op zichzelf.
Als je de basis begrijpt, snap je de rest sneller.
Zonder 1 + 1 = 2 is vermenigvuldigen pure magie!

[Marconius]

Super Sjoerd-Job!! Bedankt!

(ik heb hem even sticky gemaakt )

[Xykon]

Misschien handig om de product- en quotiëntregel bij te zetten.

Productregel:

\(p(x)=f(x) \times g(x)\)

\(p'(x) = f'(x) \times g(x) + f(x) \times g'(x)\)

voorbeeld:

\(p(x) = 6x^3 \times 4x^2 + 3x\)

\(f(x) = 6x^3\)

en

\(g(x) = 4x^2\)

\(p'(x) = 18x^2 \times 4x^2 + 6x^3 \times 8x + 3\)

Quotiëntregel:

\(q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)

\(q'(x) = \frac{f(x)' \times g(x) - f(x) \times g'(x)}{(g(x))^2)}\)

voorbeeld:

\(q(x) = \frac{3x^4}{x^2}\)

\(f(x) = 3x^4\)

en

\(g(x) = x^2\)

\(q'(x) = \frac{12x^3 \times x^2 - 3x^4 \times 2x}{(x^2)^2}\)

ps. Als deze post hier weg moet moet je het maar even laten weten, dan is ie zo weer weg.

[Hugo]

ps. Als deze post hier weg moet moet je het maar even laten weten, dan is ie zo weer weg.

LOL, als ie weg moest, was ie dat al, maar dat moet ie niet, want het is heel slim.

[Safe]

Wat ik graag wil weten:
Is dit(!) op verzoek?
Wil je dit wiskundig onderbouwen?
Voor wie is dit bedoeld?

Je poneert bv dat een afgeleide functie een richtingscoëff oplevert. Geen verklaring ... ?

[Xykon]

Vraag je dit aan mij of aan Sjoerd Job, ik neem aan aan mij.

Ik heb alleen die 2 dingen daar neergezet omdat ik soms vragen zie langskomen van mensen die weten wat differentiëren is, maar soms nog de fout in gaan. Ik dacht daarom dat dit misschien wel zou helpen. =)

[Sjoerd Job]

Wat ik graag wil weten:
Is dit(!) op verzoek?
Wil je dit wiskundig onderbouwen?
Voor wie is dit bedoeld?

Je poneert bv dat een afgeleide functie een richtingscoëff oplevert. Geen verklaring ... ?

Het was niet op verzoek. Ik heb het al lang geleden geschreven, meer dan een jaar al. Ik vermoed dat er vast grove fouten in zitten, en die moeten er zeker uit. Er zijn inderdaad ook weinig verklaringen.

Mensen met op en aanmerkingen: Die zijn welkom, en ik zal proberen het te verbeteren.

Voor wie het bedoelt is, geen idee.

[Hugo]

Wat ik graag wil weten:
Is dit(!) op verzoek?
Wil je dit wiskundig onderbouwen?
Voor wie is dit bedoeld?

Je poneert bv dat een afgeleide functie een richtingscoëff oplevert. Geen verklaring ... ?

Het was niet op verzoek. Ik heb het al lang geleden geschreven, meer dan een jaar al. Ik vermoed dat er vast grove fouten in zitten, en die moeten er zeker uit. Er zijn inderdaad ook weinig verklaringen.

Mensen met op en aanmerkingen: Die zijn welkom, en ik zal proberen het te verbeteren.

Voor wie het bedoelt is, geen idee.

was het geen idee geweest om dit dan eerst in overleg te plaatsen?

[Marconius]

Dat was er toen nog niet echt...

[Hugo]

eerste post op overleg dateert uit 2005, dus dat was er wel toen ie dit ging posten

[Safe]

Wat ik graag wil weten:
Is dit(!) op verzoek?
Wil je dit wiskundig onderbouwen?
Voor wie is dit bedoeld?

Je poneert bv dat een afgeleide functie een richtingscoëff oplevert. Geen verklaring ... ?

Het was niet op verzoek. Ik heb het al lang geleden geschreven, meer dan een jaar al. Ik vermoed dat er vast grove fouten in zitten, en die moeten er zeker uit. Er zijn inderdaad ook weinig verklaringen.

Mensen met op en aanmerkingen: Die zijn welkom, en ik zal proberen het te verbeteren.

Voor wie het bedoelt is, geen idee.

Het initiatief is OK!
Maar gezien je bovenstaande reactie is het misschien verstandig om hier een aparte rubriek van te maken. En (met anderen) overleggen over wat daarin moet komen te staan en de onderbouwing daarvan lijkt me wel nuttig.

Opm: Ik keek nog even naar de rubriek Tutorials, is dat niet de plek?

[Xykon]

Tutorials is daar wel voor gemaakt, maar ik denk dat weinig mensen die met een vraag hier komen daar eerst zullen kijken. Volgens mij zullen ze eerder een sticky in het desbetreffende sub-forum lezen dan een topic in het Tutorials gedeelte. Maar dat is mijn mening

[drc.]

Hallo allemaal,

Ik weet dat dit een oud bericht is.Slechts een suggestie, maar kan aan gebruikers niet de mogelijkheid gegeven ,zoals een subforum, worden op een plaats om de theorie/uitleg te laten posten over bijv. lineaire verbanden, gelijkbenige driehoeken etcetera. In bijv. tutorials zou het kunnen, maar er is niet echt een topic dat daarvoor is. Een soort brainstorm evt.....

[Safe]

Wat iig nuttig is: de meetkundige betekenis van de afgeleide f'(x) van een differentieerbare functie f(x) in de grafiek van f.

[drc.]

Dus, als iemand een uitleg heeft voor de meetkundige betekenis van de afgeleide f'(x) van een differentieerbare functie f(x) in de grafiek van f, is die uitleg hier zeer welkom. Bij voorbaat dank.