Wortels en machten

[Melissa_sciencetalk]

Zou iemand mij kunnen helpen met de volgende opgaves?
Ik kom er niet uit.

1.) Schrijf als macht van 2:
2/^4sqrt8
Zover ben ik gekomen...
2/^4sqrt8 =2/8^{-1/4} = 2/(2^3)^{-1/4} = 2/2^{-3/4} =...

2.) Schrijf de volgende uitdrukkingen als wortel in standaardvorm:
^4sqrt8 \cdot ^3sqrt16
Zover ben ik gekomen...
^4sqrt8 \cdot ^3sqrt16 = 8^{-1/4} \cdot 16^{-1/3} = (2^3)^{-1/4} \cdot (2^4)^{-1/3} = 2^{^-3/4} \cdot 2^{-4/3} = 2^{7/12} =...

Alvast bedankt!
Melissa.

[Sjoerd Job]

Hallo,

zo kijkende naar je uitwerkingen vallen twee dingen mij op:

Als eerste

\(\sqrt[a]{x} = x^{\frac{1}{a}}\)

, en niet

\(\sqrt[a]{x} = x^{-\frac{1}{a}}\)

(welke jij doet)

Ten tweede, volgens mij heb jij nog niet door dat

\(\frac{1}{x} = x^{-1}\)

Ik denk dat je aan de hand hiervan al aardig verder komt.

[Melissa_sciencetalk]

Beetje late reactie, maar ik heb nu pas weer tijd om verder te gaan...
Bedankt voor je opmerking. Ik wist het wel, maar haalde vanalles doorelkaar geloof ik.
Toch kom ik er nog steeds niet helemaal uit.

Nr. 2 heb ik nu anders aangepakt;
4sqrt8 \cdot ^3sqrt16 = ^4sqrt2^3 \cdot ^3sqrt2^4 = sqrt2^{3/4} \cdot sqrt2^{4/3} = sqrt2^{25/12} = {^12 }sqrt2^2} = ...
Wat is nu de volgende stap? Want ik neem aan dat dit niet zo kan blijven staan ivm wortel & kwadraat.

De eerste heb ik alsvolgt opgelost;
2/^4sqrt8 = 2/^4sqrt2^3 = 2/sqrt2^{3/4} = 2^{3/4 - 1/2} = 2^{1/4}
Heb ik het zo goed gedaan?

[Pierewiet]

sqrt2^(25/12) = 12e machtswortel 2^25=12emachtswortel (2^12)(2^12)(2)= (2*2)* 12emachtswortel 2 = 4 *12emachtswortel 2

Let op wat Sjoerd schreef 1/x=x^(-1) bij de vraag 2/(4emachtswortel 8) het wordt dan 2*8^(-1/4)=2*2^(-3/4)=2^(1/4)=4emachtswortel 2

enz.enz

[Sjoerd Job]

Beetje late reactie, maar ik heb nu pas weer tijd om verder te gaan...
Bedankt voor je opmerking. Ik wist het wel, maar haalde vanalles doorelkaar geloof ik.
Toch kom ik er nog steeds niet helemaal uit.

Nr. 2 heb ik nu anders aangepakt;
4sqrt8 \cdot ^3sqrt16 = ^4sqrt2^3 \cdot ^3sqrt2^4 = sqrt2^{3/4} \cdot sqrt2^{4/3} = sqrt2^{25/12} = {^12 }sqrt2^2} = ...
Wat is nu de volgende stap? Want ik neem aan dat dit niet zo kan blijven staan ivm wortel & kwadraat.

De eerste heb ik alsvolgt opgelost;
2/^4sqrt8 = 2/^4sqrt2^3 = 2/sqrt2^{3/4} = 2^{3/4 - 1/2} = 2^{1/4}
Heb ik het zo goed gedaan?

Even een opmerking over hoe je het moet noteren. De derde-machtswortel van n geven we aan met \sqrt[3]{n} = [/tex]\sqrt[3]{n}[/tex]. Dus: \sqrt[k]{m} =

\(\sqrt[k]{m}\)

Dat maakt het duidelijker leesbaar.

Als eerste:

\(\frac{2}{\sqrt[4]{8}} = \frac{2}{(2^3)^{\frac{1}{4}}} = 2 \cdot (2^{\frac{3}{4}} )^{-1} = \ldots\)

Nu, om je af te vragen of je originele antwoord klopt:

\(\frac{2}{\sqrt[4]{8}} = 2^{\frac{1}{4}}\)

Het teken klopt in ieder geval, dus laten we dit tot de macht 4 verheffen.

\((\frac{2}{\sqrt[4]{8}})^4 = \frac{16}{8} = 2 = (2^\frac{1}{4})^4\)

Dus het klopt.

\(\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[3]{16} = \sqrt[4]{2^3} \cdot \sqrt[3]{2^4} =\)

... Dit klopt allemaal nog, maar nu

\(\sqrt{2^{\frac{3}{4}}} \cdot \sqrt{2^{\frac{4}{3}}}\)

...
Dus, je probeert te zeggen dat

\(\sqrt[4]{2^3} = \sqrt{2^{\frac{3}{4}}\)

is je rekenmachine het daar mee eens?

[Safe]

Beetje late reactie, maar ik heb nu pas weer tijd om verder te gaan...
Bedankt voor je opmerking. Ik wist het wel, maar haalde vanalles doorelkaar geloof ik.
Toch kom ik er nog steeds niet helemaal uit.

Nr. 2 heb ik nu anders aangepakt;
4sqrt8 \cdot ^3sqrt16 = ^4sqrt2^3 \cdot ^3sqrt2^4 = sqrt2^{3/4} \cdot sqrt2^{4/3} = sqrt2^{25/12} = {^12 }sqrt2^2} = ...
Wat is nu de volgende stap? Want ik neem aan dat dit niet zo kan blijven staan ivm wortel & kwadraat.

De eerste heb ik alsvolgt opgelost;
2/^4sqrt8 = 2/^4sqrt2^3 = 2/sqrt2^{3/4} = 2^{3/4 - 1/2} = 2^{1/4}
Heb ik het zo goed gedaan?

Wat je vooral moet begrijpen, is dat gebroken exponenten een andere notatie zijn voor wortelvormen.
Zo is:

\(sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\)

en algemeen:

\(\sqrt[q]{a^p}=a^{\frac{p}{q}}\)

mits a>0.

In je laatste opg is het antwoord (2^(1/4)) goed, maar de tussenstappen niet!

Je opgave (schrijf in de standaard wortelvorm) moet zijn:

\(4\sqrt[12]{2}\)

[Melissa_sciencetalk]

Ik weet het niet hoor... Dit is duidelijk niet mijn ding.

Als eerste:
\frac{2}{\sqrt[4]{8}} = \frac{2}{(2^3)^{\frac{1}{4}}} = 2 \cdot (2^{\frac{3}{4}} )^{-1} = \ldots

Kun je dit voor me uitwerken? Kom er niet uit.

Je opgave (schrijf in de standaard wortelvorm) moet zijn: 4\sqrt[12]{2}

Kun je laten zien hoe je hierop komt?

[Melissa_sciencetalk]

Als eerste:
\frac{2}{\sqrt[4]{8}} = \frac{2}{(2^3)^{\frac{1}{4}}} = 2 \cdot (2^{\frac{3}{4}} )^{-1} = \ldots
Kun je dit voor me uitwerken? Kom er niet uit.

Heb een al denk ik;
2 \cdot (2^{\frac{3}{4}} )^{-1} = 2^1\cdot-2^{-3/4} = 2^{1/4} ???

[Sjoerd Job]

2 \cdot (2^{\frac{3}{4}} )^{-1} = 2^1\cdot-2^{-3/4} = 2^{1/4}
Bijna
2 \cdot (2^{\frac{3}{4}} )^{-1} = 2^1\cdot2^{-3/4} = 2^{1 + -3/4} = 2^{1/4}

De andere moet je vast nu wel lukken...

[Safe]

Als eerste:
\frac{2}{\sqrt[4]{8}} = \frac{2}{(2^3)^{\frac{1}{4}}} = 2 \cdot (2^{\frac{3}{4}} )^{-1} = \ldots
Kun je dit voor me uitwerken? Kom er niet uit.

Heb een al denk ik;
2 \cdot (2^{\frac{3}{4}} )^{-1} = 2^1\cdot-2^{-3/4} = 2^{1/4} ???

De aangehaalde uitwerking is goed. Je voorstel voor de volgende stap helaas niet. Sjoerd Job doet dat luchtig af, maar het is een ongelofelijke blunder!!!
Je bent met machten bezig. Hoe kan een macht met een pos grondtal (in dit geval 2) negatief worden?
Je schrijft:

\(\left(2^{\frac{3}{4}}\right) ^{-1} = -2^{-3/4}\)

Dit is de blunder.

Belangrijk: Een macht met een pos grondtal is altijd pos.

Dus:

\(\left(2^{\frac{3}{4}}\right) ^{-1} = 2^{-3/4}\)

En dit is een toepassing van de rekenregel

\((a^p)^q=a^{pq}\)

[Safe]

Je opgave (schrijf in de standaard wortelvorm) moet zijn: 4\sqrt[12]{2}

Kun je laten zien hoe je hierop komt?

Je vraag naar de opg: schrijf in de standaard wortelvorm.
Vb

\(\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=\sqrt{9}\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)

\(\sqrt[5]{64}=\sqrt[5]{2^6}=\sqrt[5]{2^5\cdot2}=\sqrt[5]{2^5}\sqrt[5]{2}=2\sqrt[5]{2}\)

Dit tweede vb met gebroken exponenten:

\(\sqrt[5]{64}=\sqrt[5]{2^6}=2^{\frac{6}{5}}=2^{1+1/5}=2^1\cdot2^{1/5}=2\sqrt[5]{2}\)

De regel is: haal zoveel mogelijk factoren buiten het wortelteken.
Bij de (gewone) wortel (dat is de vierkantswortel), zoek je naar kwadraten.
Bij (bv) derdemachts wortels, zoek je naar derde machten enz.
Bij gebroken exponenten bepaal je het aantal gehelen: bv 25/12=2+1/12.

Nu de opg:

\(\sqrt[4]{8}\cdot\sqrt[3]{16}=2^{\frac{3}{4}}\cdot2^{\frac{4}{3}}=2^{\frac{3}{4}+\frac{4}{3}}=2^{\frac{9+16}{12}}=2^{\frac{25}{12}}=2^{2+1/12}=2^2\sqrt[12]{2}=4\sqrt[12]{2}\)

Opm: Zorg dat je de rekenregels voor exponenten en wortels bestudeert (leert)!

[dave0065]

Goede dag,

Ik heb hier ook een paar sommen die ik heb geprobeert uit te werken helaas geeft mijn wiskunde boek hier geen uitleg over maar wel sommen. Gelukkig bestaat dit form. Daardoor ben ik toch zo ver gekomen.

Sommen:
7/^5sqrt7 =7/7^{1/5} = 7*(7^{1/5}) ^{-1} = 7^1 * 7^{-1/5} = 7^{5/5 - 1/5}= 7^{4/5}

som 2 Schrijf als macht van 2:

4/^2sqrt2 =2^2/2^{1/2} = 2^2 * 2^{-1/2} = 2^{4/2 - 1/2}= 2^{3/2}

som 3
8/^3sqrt4= 2^3/^3sqrt2^2= 2^3/2^{2/3}= 2^3*(2^{2/3})^{-1}= 2^3*2^{-2/3} = 2^{9/3 - 2/3} = 2^{7/3}

som 4
2/^4sqrt8= 2/^4sqrt2^3 = 2/ 2^{3/4} = 2*(2^{3/4 })^{-1} = 2^1* 2^{-3/4}= 2^{4/4 - 3/4} = 2^{1/4}

Hopelijk kan iemand mij vertellen of ik t goed gedaan heb en wat/waarom het fout is.
Alvast heel erg bedankt
Met vriendelijke groet Dave

is verandert heel erg bedankt

[Jampot]

Hallo Dave,
Voor zover ik het zo snel volg heb je overal het juiste antwoord. Echter in elke berekening zit een fout, ofwel een verkeerde schrijfwijze.

\ldots = 7*(7^{1/5}) ^{-1} = 7^1 * -7^{-1/5} = \ldots

Het minteken voor de 7^{-1/5} hoort er niet te staan. Deze fout maak je drie maal.
Bij het verder rekenen, zie je het minteken ook niet terug komen. (zie som 1,3 en 4)

In som 2 zit ook een schrijffoutje:

\ldots = 2^2/2^{1/2} = 2^2*2^{1/2} = \ldots

Hier mist een minteken in de macht