Open Gebied

[ottocruyt]

Bij de defnitie an functieklasse C^k heeft men als voorwaarde dat D een open gebied is in R^n. Wat wordt bedoelt met een open gebied, is dat hetzelfde als een open interval?

[Safe]

Je zal iets uitvoeriger moeten zijn. Bovendien staat dit bij Meetkunde?

[ottocruyt]

wel ik dacht intervallen... waar hoort het dan beter bij?

de gehele definitie is:

Zij f van klasse C' in een open gebied D. Stel dat f een maximum bereikt in een punt P0 element van D. Dan zijn alle eerste-orde partiële afgeleiden van f nul in P0.

Mijn vraag is nu: wat bedoelt men precies met een "open gebied", want ik kom het verscheidene keren tegen in mijn cursus. Ik vermoed dat het ofwel een open interval is, oftewel een onbegrensd gebied of zoiets is, maar ik heb zekerheid nodig

dank bij voorbaat.

[martinvb]

Je zit in de \mathbb{R}^n te werken, een gesloten interval heeft hier geen betekenis voor n>1. Je moet een ruimte hebben waar afstanden gelden (of formeler gezegd: genormeerde ruimte / Hilbertruimte).

Volgens de definitie (op \mathbb{R}^n)
Een verzameling \mathcal{O}\subseteq \mathbb{R}^n noemen we een open gebied als voor elk punt x\in \mathcal{O} geldt dat:
Er is een \epsilon>0 zodat y\in O voor alle y\in \mathbb{R}^n waarvoor geldt dat ||y-x||<\epsilon

Meetkundig kan je je voorstellen dat er om elk punt een heel klein 'bolletje' getekend kan worden zó, dat elk punt in het bolletje ook tot \mathcal{O} behoort. ||x-y|| is hier de norm ('afstand') tussen de punten x en y.

Opmerking 1: \mathbb{R}^n is een open gebied.
Opmerking 2: Een gebied \mathcal{C}\subseteq \mathbb{R}^n is een gesloten gebied (per definitie!) als alle punten die niet in het \mathcal{C} zitten maar wel in \mathbb{R}^n een open gebied vormen.
Opmerking 3: Er zijn ook gebieden die niet open en niet gesloten zijn.
Opmerking 4: Als n=1 dan komt 'open gebied' overeen met een open interval en 'gesloten gebied' overeen met gesloten interval.

[ottocruyt]

ok, bedankt!