Ontbinden in factoren bij machten > 2 en dan oplossen

[beta.gamma.pi.omega]

Hallo,

Wat zijn de regels voor het ontbinden in factoren voor sommen met machten > 2 bijv: p^3-p^5?
Bestaat er ook een soort formule vorm voor het ontbinden in factoren van machten > 2? Net als bij de machten van 2: (a+b)(a+b) = a^2+ab+ba+b^2.

Worden de sommen met machten > 2 overigens polynomen genoemd?

Ik hoop dat u mij op weg kan helpen.

beta.gamma.pi.omega

[Safe]

Schrijf eens op alle formules die je kent, zoals:

Net als bij de machten van 2: (a+b)(a+b) = a^2+ab+ba+b^2.

Worden de sommen met machten > 2 overigens polynomen genoemd?
beta.gamma.pi.omega

We schrijven liever: (a+b)(a+b) = a^2+ab+ba+b^2=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²=(a+b)²
En leren dan (uit het hoofd!):
Het kwadraat van een twee-term is gelijk aan de som van de kwadraten van de termen plus het dubbele product.
Begrijp je deze zin ivm de formule erboven? Bv Weet je wat een term is?

Polynomen zijn formules van de vorm:

\(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_0\)

,
hierin zijn a^n enz constanten en x is de variabele.

[beta.gamma.pi.omega]

Schrijf eens op alle formules die je kent, zoals:

Net als bij de machten van 2: (a+b)(a+b) = a^2+ab+ba+b^2.

Worden de sommen met machten > 2 overigens polynomen genoemd?
beta.gamma.pi.omega

We schrijven liever: (a+b)(a+b) = a^2+ab+ba+b^2=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²=(a+b)²
En leren dan (uit het hoofd!):
Het kwadraat van een twee-term is gelijk aan de som van de kwadraten van de termen plus het dubbele product.
Begrijp je deze zin ivm de formule erboven? Bv Weet je wat een term is?

Polynomen zijn formules van de vorm:

\(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_0\)

,
hierin zijn a^n enz constanten en x is de variabele.

Wat ik onder de termen versta is het volgende : a^2 + 2ab +b^2 en dat a² dan een term is 2ab een term en b² een term. Deze vorm is overigens duidelijk voor mij : (a+b)² = (a+b)(a+b). Dit snap ik.

Deze snap ik ook : (bx+a)² = (bx+a)(bx+a) = b^2x^2+abx+abx+a^2 = b^2x^2+2abx+a^2
Dit leer ik net, klopt dit? (x^c+a)²= (x^c+a)(x^c+a) = x^(c+c)+xa^c+ax^c+a^2 = x^(c+c)+2ax^c+a^2

maar mijn vraag is heb je deze standaardvormen of formules ook voor bijv p^3-p^5 dus machten > 2. Is het misschien mogelijk dat u de vormen even op een rijtje zet? Ik geloof dat ik dat eerst goed moet snappen/leren.

[Safe]

OK. Een term ken je. Even wat precieser:
Def: een term is deel van een som. Een term heeft een teken.
Def: een factor is deel van een product. Ook een factor heeft een teken.
Ik vroeg:

Schrijf eens op alle formules die je kent,
We schrijven liever: (a+b)(a+b) = a^2+ab+ba+b^2=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²=(a+b)²
En leren dan (uit het hoofd!):
Het kwadraat van een twee-term is gelijk aan de som van de kwadraten van de termen plus het dubbele product.
Begrijp je deze zin ivm de formule erboven? Bv Weet je wat een term is?

De vragen niet begrepen?

Deze formule ken je nu: a²+2ab+b²=(a+b)² en (a+b)²=a²+2ab+b²
Ken je nu ook: (a-b)²=...?

Ken je de volgende formule: ab+ac=a(b+c)
In woorden (populair): Zelfde factoren in de termen kunnen buiten haakjes gehaald worden.

Het vb wat jij noemt bevat zelfde factoren in de termen! Welke? Wat kan je dus doen?

[beta.gamma.pi.omega]

OK. Een term ken je. Even wat precieser:
Def: een term is deel van een som. Een term heeft een teken.
Def: een factor is deel van een product. Ook een factor heeft een teken.
Ik vroeg:

Schrijf eens op alle formules die je kent,
We schrijven liever: (a+b)(a+b) = a^2+ab+ba+b^2=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²=(a+b)²
En leren dan (uit het hoofd!):
Het kwadraat van een twee-term is gelijk aan de som van de kwadraten van de termen plus het dubbele product.
Begrijp je deze zin ivm de formule erboven? Bv Deze formule ken je nu: a²+2ab+b²=(a+b)² en (a+b)²=a²+2ab+b²

De vragen niet begrepen?


Ken je nu ook: (a-b)²=...?

Ken je de volgende formule: ab+ac=a(b+c)
In woorden (populair): Zelfde factoren in de termen kunnen buiten haakjes gehaald worden.


Het vb wat jij noemt bevat zelfde factoren in de termen! Welke? Wat kan je dus doen?

Ken je nu ook: (a-b)²=...? Ja ik denk 't (a-b)² = (a-b)(a-b) = a²-ab-ba-b² = a²-2ab-b²

Def: een term is deel van een som. Een term heeft een teken. Bedoel je + en - ?

Het kwadraat van een twee-term is gelijk aan de som van de kwadraten van de termen plus het dubbele product. Dit volg ik niet helemaal. Noem je dit (a+b)² het kwadraat van een twee-term? Noem je a² + b² de som van de kwadraten van de termen? Is 2ab het dubbele product?

Ken je de volgende formule: ab+ac=a(b+c) deze ken ik, met a als gemeenschappelijke factor.

Ik werk uit een boek dat alleen maar twee formules geeft voor het ontbinden in factoren, waaronder ab+ac=a(b+c) en x²+px+q = (x+a)(x+b) waarbij p = a+b en q = ab. Ik weet niet of dit genoeg is om het ontbinden in factoren goed te snappen. Zoiets als dit ontbinden in factoren snap ik: x²+7x+10 = (x+2)(x+5)

Ik denk dat ik snap wat u bedoeld met :

Ken je de volgende formule: ab+ac=a(b+c)
In woorden (populair): Zelfde factoren in de termen kunnen buiten haakjes gehaald worden.

Het vb wat jij noemt bevat zelfde factoren in de termen! Welke? Wat kan je dus doen?

p^3-p^5 = p^3(1-p^2) en die 1 zet ik dan binnen de haakjes omdat er eigenlijk 1p^3 staat?

maar dan heb je nu de vorm a(b+c²)? Deze ken ik niet.

[Safe]

Ken je nu ook: (a-b)²=...? Ja ik denk 't (a-b)² = (a-b)(a-b) = a²-ab-ba-b² = a²-2ab-b² Hoe bereken je dit eigenlijk? Wat is -b*-b, want dat staat er toch?

Het kwadraat van een twee-term is gelijk aan de som van de kwadraten van de termen plus het dubbele product. Dit volg ik niet helemaal. Noem je dit (a+b)² het kwadraat van een twee-term? Noem je a² + b² de som van de kwadraten van de termen? Is 2ab het dubbele product?
Prima, in a+b zijn a en b de termen (eigenlijk +a en +b, maar het teken vermelden we alleen als het neg is)
Dus: a+b wordt een twee-term. En wat wordt x²+px+q?

Ken je de volgende formule: ab+ac=a(b+c)
Mooi, die ken je dus ook en heb je goed toegepast in:
p^3-p^5=p³(1-p²), maar wat nu? Ken je a²-b²=(a+b)(a-b)? Kan je die hier gebruiken?

Def: een term is deel van een som. Een term heeft een teken. Bedoel je + en - ?
Is dit nu duidelijk?

x²+px+q = (x+a)(x+b) waarbij p = a+b en q = ab. Ik weet niet of dit genoeg is om het ontbinden in factoren goed te snappen. Zoiets als dit ontbinden in factoren snap ik: x²+7x+10 = (x+2)(x+5)
Deze ontbinding is ook belangrijk?

p^3-p^5 = p^3(1-p^2) en die 1 zet ik dan binnen de haakjes omdat er eigenlijk 1p^3 staat?
maar dan heb je nu de vorm a(b+c²)? Deze ken ik niet.
Ik ook niet, maar het staat er niet.

[beta.gamma.pi.omega]

Prima, in a+b zijn a en b de termen (eigenlijk +a en +b, maar het teken vermelden we alleen als het neg is)
Dus: a+b wordt een twee-term. En wat wordt x²+px+q?

Een drie-term.

Ken je nu ook: (a-b)²=...? Ja ik denk 't (a-b)² = (a-b)(a-b) = a²-ab-ba-b² = a²-2ab-b² Hoe bereken je dit eigenlijk? Wat is -b*-b, want dat staat er toch?

Ohja natuurlijk sorry, ik heb het iets te snel gedaan waardoor ik niet heb gezien dat er eigenlijk -*- staat dus dat wordt natuurlijk +b²

Def: een term is deel van een som. Een term heeft een teken. Bedoel je + en - ?
Is dit nu duidelijk?

Duidelijk.

Ken je de volgende formule: ab+ac=a(b+c)
Mooi, die ken je dus ook en heb je goed toegepast in:
p^3-p^5=p³(1-p²), maar wat nu? Ken je a²-b²=(a+b)(a-b)? Kan je die hier gebruiken?

Ik heb deze formule wel van mijn leraar gehad laatst, maar nooit echt goed mee kunnen oefenen omdat het niet in de boeken staat die ik heb voor de thuisstudie.

a²-b² = (a+b)(a-b)=a²-ab+ab-b²=a²-b² dit is duidelijk

dus 1-p² = (1+p)(1-p)

dus p³(1+p)(1-p)

ok ik denk dat ik het snap, dus zou er (4-p²) staan dan is het (2+p)(2-p) en dit is dan in de vorm a²-b² = (a+b)(a-b)

[Safe]

Geweldig, je hebt echt wat geleerd.
Denk eraan nu oefenen totdat je het gevoel krijgt dat er geen verrassingen meer zijn.

[beta.gamma.pi.omega]

Dank u wel voor de uitleg. Deze topic kan overigens verwijderd worden indien daar behoefte aan is.

[Safe]

OK! Succes.

[dave0065]

goede dag,

ik heb een vraag over factoren binnen haakjes werken.
ik gebruik het basisboek wiskunde dat een heel goed boek is alleen soms beetje kort in uitleg.


-a^8 b^7 c^6 - a^7 b^6 c^7 + a^6 b^6 c^6 = - a^6 b^6 c^6 (a^2 b + a c - 1)

met tussenstap (eerst uit haakjes halen en weer binnen de haakjes werken.
1:
(a+1)(b+1)+3(b+1)=ab+a+b+1+3b+3 = ab+a+4b+4 =

(a+ ?)(b+?)=(a+?)(b+1)=(a+4)(b+1)= ab+a+4b+4
2:
(2a-1)(b+1)+(2a-1)(b-1)= 4ab-2b =2b(2a-1)
3:
(a+3)(2b-1)+(2a-1)(2b-1)= 6ab -3a +4b -2 =( 3a+?)(2b -1)=(3a+2)(2b-1)
4:
(a-1)(a+3)+(a+2)(a+3)=2a^2 +7a +3=(2a+1)(a+3)

Ik hoop dat ik er iemand me kan helpen.

[tsagld]

1:
(a+1)(b+1)+3(b+1)=???=(a+4)(b+1)
Je ziet hier dat de factor (b+1) twee maal voorkomt.
Vervang b.v. (a+1) eens door x en (b+1) door y.
Je krijgt dan: xy + 3y
en dat is weer: y(x+3)
Misschien kun je nu zelf verder?