Reele getallen Vs. Complexe getallen.

[Shispeed]

hallo allemaal,

ik ben bezig voor mijn PO wiskunde over Complexe getallen. ik heb echter een vraag die ik niet terug kan vinden op internet. namelijk bij complexe getallen heb je getallen zoals i. een imaginair getal omdat volgens de rekenregels van reële getallen i niet kan (i = de wortel uit -1). maar is het dus zo dat complexe getallen altijd getallen zijn om vergelijkingen mee op te lossen die met de rekenregels van reële getallen niet kunnen bestaan? zijn complexe getallen dus altijd imaginair of deels imaginair?

[Safe]

Complex getal betekent een getal met een reëel deel en een imaginair deel.
Als het reële deel 0 is, is het getal zuiver imaginair en als het imaginaire deel 0 is, heet het getal reëel.
Maar je moet complexe getallen zien als een uitbreiding van de getallen (tot dan toe). Dus reële getallen horen (net zo goed) tot de complexe getallen.
Daarom kan je bv zeggen, dat een kwadratische verg altijd twee opl heeft in de verz van de complexe getallen. Terwijl dat in de verz van de reële getallen niet zo is.

[Shispeed]

oh oke zit dat zo, nu snap ik het

hardstikke bedankt !

[Safe]

Ok, maar wees niet te snel ...
"Mankind' heeft er lang over gedaan om zover te komen.

[arno_sciencetalk]

Opmerking: je stelt dat i = √-1, maar het is gebruikelijk om i te definiëren als het niet-reële getal met de eigenschap i² = -1. Stel √-1 = a+bi, dan geldt dat a²-b²+2abi = -1, dus a²-b²= -1 en 2abi = 0, dus a²-b²= -1 en a = 0 of b = 0. Stel a = 0, dan geldt: -b²= -1, dus b²= 1, dus b = 1 of b = -1.
Stel b = 0, dan geldt: a² = -1, wat niet mogelijk is, dus er geldt: √-1 = i of √-1 = -i. Omdat √-1 dus 2 waarden kan hebben betekent dit dat de wortel uit een negatief reëel getal geen eenduidige waarde heeft, wat bij een positief reëel getal en bij 0 wel het geval is. Het is dan ook niet correct om i = √-1 te stellen.

[op=op]

Stel √-1 = a+bi, dan geldt dat a²-b²+2abi = -1

Ik ben het volledig met je eens.
Maar als je schrijft "Stel √-1 = a+bi", zou je toch eerst willen weten wat je met

\(\sqrt{-1}\)

bedoelt.

Zoals je zegt is

\(i^2 = -1\)

.
Nu komt met op de gedachte van

\(\sqrt{-1}\)

door in

\(i^2 = -1\)

links en recht de wortel te trekken.
Maar is

\(\sqrt{i^2} = i\)

?
Er geldt toch

\(\sqrt{x^2} = |x|\)

.
Dat zou betekenen dat

\(\sqrt{i^2} = |i| = 1\)

en dus

\(1 = \sqrt{-1}\)

.
Met onzinnige zaken kun je alle kanten op. B.v.

\(1 = \sqrt{(-1)^2} = \sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1} = i\cdot i = -1\)

.

Het kan wel eens voorkomen dat het handig is om b.v.

\(\sqrt{-5}\)

te schrijven i.p.v.

\(i\sqrt{5}\)

. B.v. als je een algemene formule voor de oplossing van een vierkantsvergeliiking wilt geven.
Als je geen verschil maakt tussen reële oplossingen en complexe, dan heb je aan 1 formule genoeg.
Maar je moet dan wel weten dat het eigenlijk niet klopt en dat je

\(\sqrt{D}\)

moet lezen als

\(i\sqrt{-D}\)

als

\(D\)

negatief is.

[Safe]

Wat betoog je nu eigenlijk?

[op=op]

Ik betoog dat je niet de wortel uit een negatief getal kunt trekken.
Toch kom je wel uitdrukkingen als

\(\sqrt{-5}\)

tegen, en dat is omdat het soms handig kan zijn om het niet te schrijven als

\(i\sqrt{5}\)

. B.v. de formule van Cardano (algemene oplossing voor een 3-de graads polynoom). Als je dat netjes zou moeten doen dan heb je een aantal formules nodig, terwijl op de slordige wijze alles in 1 formule kan worden uitgedrukt.
Moraal van dit verhaal: Hoewel

\(\sqrt{a}\)

iets onzinnigs is voor negatieve

\(a\)

is het soms wel handig dit niet op een juiste wijze te schrijven. Dat is ook geen probleem als je weet dat hiermee bedoeld wordt

\(i\sqrt{-a}\)

.

[newtonus]

hallo, ik ben nieuw hier en ben een jongen van 17 jaar, die zijn dagen doorkomt met wiskunde maken (wat een nerd-opmerking)
maar ik had een vraagje, die echter alleen met imaginaire getallen te maken had. Ik doe namelijk momenteel opgaven met imaginaire getallen en snap vrijwel niets van 'conjugeren'. Of iemand het misschien voor mij wilt uitleggen?

[drc.]

Hallo Carl,

Wat wil je weten over conjugeerde complexe getallen? Algemeen geldt er:

\(z=a+bi\)

, dan

\(\bar{z}=a-bi\)

\(z\)

en

\(\bar{z}\)

zijn elkaars geconjugeerden.
Kan je anders een of enkele opgave(n) geven? Misschien kan iemand anders of ik je dan helpen.

[newtonus]

De opgave ziet er zo uit:
Toon aan dat voor elk getal z=a+bi en

\(\overline{z}\)

geldt
a het reële deel van z is gelijk aan \frac{z+\overline{z}}{2} en het imaginaire deel is gelijk aan \frac{z-\overline{z}}{2i}.
b z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2

het probleem is dat ik niet goed wil snappen. Als je het gaat conjugeren, veranderd dan de + gewoon in een -?

[arno_sciencetalk]

Als z = a+bi een complex getal is, dan geldt: a = Re z en b = Im z, waarbij Re z het reële deel van z en Im z het imag8inaire deel van z wordt genoemd. Voor de complex geconjugeerde \bar{z} geldt dan: Re \bar{z}=Re z en Im \bar{z}=-Im z.

[drc.]

Hier een visualisatie voor wat arno beschreef:

In dit geval is x het reeële deel en y het imaginaire deel.

Als je het gaat conjugeren, veranderd dan de + gewoon in een -?

informeel wel.
Voor a+bi (in het geval van de afb. x+iy) wordt de "+" een "-"
Kan je nu iets invullen voor z en \bar{z}
in de opgaven a en b?