De vergelijking
\(x^2=x\)
heeft maar liefst 4 veschillende oplossingen in
\(\mathbb{Q}_{10}\)
. (De oplossingen laat ik aan de lezer over).
Als
\(n \ne m\)
, dan is
\(\mathbb{Q}_n \ne \mathbb{Q}_m\)
.
Het maakt dus een groot verschil in wel tallig stelsel je de getallen noteert.
Voor
\(\mathbb{R}\)
maakt dat helemaal niets uit.
Net als in
\(\mathbb{R}\)
geldt, dat je een breuk (rationaal getal) kunt herkennen aan een repeterend stuk.
Dus ...1212121212 is een breuk (welke?).
Je kunt ook aan het getal (zeg X) herkennen of de breuk negatief is.
Vul daartoe eventueel wat nullen toe voor aan het getal (verschuif de komma) zodat het niet repeterende stuk r even lang is als een repeterend stuk a. Er geldt: X>0 als r>a en omgekeerd.
\(\pi = 3,14159... = 3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{10^2} + \frac{1}{10^3} + \cdots\)
\(|3,14159\cdots - 3,1415|<\frac{1}{10^4}\)
Hoe meer decimalen je uitrekent, hoe nauwkeuriger je
\(\pi\)
benadert.
Hetzelfde geldt in
\(\mathbb{Q}_n\)
(We kiezen hier n=10, maar we mogen ook een andere waarde voor n kiezen).
Absolute waarden hebben hier echter een andere betekenis dan in
\(\mathbb{R}\)
.
Aan de hand van 2 voorbeelden wordt het duidelijk.
\(...1234,567 = \frac{7}{10^3} + \frac{6}{10^2} + \cdots\)
Deze som begint met
\(7\times 10^{-3}\)
, dan is
\(|...1234,567| = 10^3\)
.
\(123450000 = 5\times 10^4 + 4\times 10^5 + \cdots\)
Deze som begint met
\(5\times 10^4\)
, dan is
\(|123450000| = 10^{-4} = \frac{1}{10^4}\)
.
\(\rho = ...22225,6 = \frac{6}{10} + 5 + 2\times 10 + 2\times 10^2 + 2\times 10^3 + \cdots\)
\(|...22225,6 - 2225,6| \le \frac{1}{10^4}\)
Hoe meer decimalen je uitrekent, hoe nauwkeuriger je
\(\rho\)
benadert.
Getallen zonder komma worden gehele getallen genoemd (dus ook ...21212 is een geheel getal). We schrijven voor de verzameling van gehele decimale getallen
\(\mathbb{Z}_{10}\)
.
Het blijft allemaal spielerei zolang er geen toepassingen zijn. Dus tijd voor een toepassing.
Stelling van Hasse-Minkowski:
Een homogeen polynoom in n variabelen met coëfficienten in
\(\mathbb{Q}\)
heeft nulpunten in
\(\mathbb{Q}\)
dan en slechts dan als het nulpunten heeft in
\(\mathbb{R}\)
en in
\(\mathbb{Q}_p\)
voor elk priemgetal p.
Kortom, als je bijvoorbeeld kunt aantonen dat
\(x^2 + 3xy + 5y^2 = 0\)
geen nulpunten heeft in
\(\mathbb{Q}_2\)
,
dan heeft de vergelijking geen oplossingen in
\(\mathbb{Z}\)
.
Voor wie thuis is in topologie nog de volgende losse opmerkingen:
Als p priem is, dan is
\(\mathbb{Q}_p\)
een lichaam.
\(\mathbb{R}\)
is per definitie de completering van
\(\mathbb{Q}\)
. We gebruiken hier de absolute-waarde metriek.
Volgens Archimedes geldt voor
\(x,y\in \mathbb{R}\)
dat er een natuurlijk getal n bestaat zo dat
\(n|x|>|y|\)
.
\(\mathbb{Q}_p\)
is per definitie de completering van
\(\mathbb{Q}\)
. We gebruiken hier de p-absolute-waarde metriek.
Archimedes geldt hier niet!
Dit zijn de enige mogelijke completeringen van
\(\mathbb{Q}\)
met een absolute waarde begrip (i.e. een norm |.| met de eigenschap
\(|xy| = |x||y|\)
).
De natuurlijke getallen
\(\mathbb{N}\)
liggen dicht in
\(\mathbb{Z}_p\)
.
\(\mathbb{Z}_p\)
is compact.
Alle bollen zijn zowel open als gesloten.
Elk punt van een bol is tevens het middelpunt van die bol (bollen bevatten meerdere punten).
In elke driehoek zijn 2 zijden gelijk en de derde is kleiner.
Een reeks convergeert als de limiet van de termen naar 0 convergeert.
\(\mathbb{Z}_2\)
is homeomorf met de Cantor set.
Voor een machtreeks
\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)
geldt
net als in
\(\mathbb{R}\)
, de formule voor de convergentiestraal.
De twee bekendste:
\(\log(1+x) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}\)
heeft convergentiestraal 1.
\(\exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\)
.
Vreemd genoeg is hier de convergentiestraal
\(p^{-1/(p-1)}\)
.
De gebruikelijke relaties gelden, zoals
\(\log(e^x) = x\)
en
\(\exp(x+y) = \exp(x)+\exp(y)\)
enz.
Met p-adische getallen kun je dus net zo analyse bedrijven als met de reële getallen.
Een laatste opmerking:
De p-adische getallen zijn de niet-archimedische completeringen van
\(\mathbb{Q}\)
.
We hoeven niet per sé uit te gaan van
\(\mathbb{Q}\)
, maar kunnen in theorie ook andere niet-volledig lichamen niet-archimedisch completeren.
Die lichamen worden als uitgangspunt genomen in de niet-archimedische functionaal analyse.
Puzzels
