Afleiding abc-formule.

[Safe]

\(\underbrace{a\cdot x^2}_{\text{kwadr term}}+\underbrace{b\cdot x}_\text{lineaire term}}+\underbrace{c}_{\text{const term}}=0\)

Wie voelt zich geroepen op 'nette' wijze de abc-formule af te leiden.

[arno_sciencetalk]

Stel ax²+bx+c = a(x-p)²+q, dan volgt uit ax²+bx+c = 0 dat a(x-p)²+q = 0, dus a(x-p)² = -q, dus (x-p)^2=-\frac{q}{a}, dus x-p=\pm\sqrt{-\frac{q}{a}}, dus x=p\pm\sqrt{-\frac{q}{a}}.
Uit ax²+bx+c = a(x-p)²+q volgt: ax²+bx+c = ax²-2apx+ap²+q, dus -2ap = b en ap²+q = c, dus p=-\frac{b}{2a} en q=c-ap^2=c+a\frac{b^2}{4a^2}=c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}, dus x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{-\frac{4ac-b^2}{4a^2}}=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

[Safe]

Ok, ik kom er nog op terug.

[drc.]

\(ax^2+bx+c=0;\;\;\; a \neq 0\;\;\;\;\;\; \text{deel door a};\)

\(\text{dat mag altijd want}\; a \neq 0\)

\(x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}\;\;\;\;\;\; \text{herschrijf als (x+m)(x+n) met m=p+q en n=p-q}\)

\((x+(p+q))(x+(p-q ))\;\;\;\text{haal buiten haakjes} \\ \\ x^2+((p+q)+(p-q)) x+p^2-q^2 \;\;\;\;\;\; \text{vereenvoudig ((p+q)+(p-q))} \\ \\ x^2+2px+p^2-q^2 \;\;\;\; \\ \\ \text{ Geeft de vergelijkingen:}\\ \\\)

\(2p = \frac{b}{a} \; \text{en} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{(is de "1e vergelijking")}\\ \\ p^2-q^2=\frac{c}{a}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{(is de "2e vergelijking")}\)

\(\text{Vind met de vergelijkingen de waarden voor} \;"p"\; \text{en}\; "q"}:\)

\(\text{1e vergelijking:}\)

\(2p = \frac{b}{a}\;\;\;\;\;\;\text{ deel door 2:}\)

\(p = \frac{b}{2a}\)

\(\text{2e vergelijking}:\)

\(p^2-q^2=\frac{c}{a} \;\;\;\;\;\;\text{invullen:} \;\;\;p=\frac{b}{2a}}:\)

\(\left(\frac{b}{2a}\right)^2-q^2=\frac{c}{a}\;\;\;\;\;\; \text{vereenvoudig het kwadraat:}\)

\(\frac{b^2}{4a^2}-q^2=\frac{c}{a} \;\;\;\;\;\; \text{vermenig teller en noemer van} \;\frac{c}{a}\; \text{met 4a:}\)

\(\frac{b^2}{4a^2}-q^2=\frac{4ac}{4a^2} \;\;\;\;\;\; \text{trek aan beide kanten}\; \frac{b^2}{4a^2} \;\;\text{af}: \\\)

\(-q^2=\frac{4ac}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}} \;\;\;\;\;\;\text{vermenigvuldig met -1 en tel de breuken bij elkaar op}:\)

\(q^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \;\;\;\;\;\;\text{trek de vierkantswortel:}\)

\(q=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\;\;\;\;\;\; \text{haal} \;4a^2\; \text{uit de wortel}:\)

\(q=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{vul p en q in in (x+(p+q))(x+(p-q))=0:}\)

\(\left(x+\left(\frac{b}{2a}\,+\,\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\right)\right)\left(x+\left(\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\right)\right)=0 \;\;\;\;\;\;\; \\ \text{tel de breuken bij elkaar op}\)

\(\left(x+\left(\frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\right)\left(x-\left(\frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\right)=0\)

\(\text{Gebruik (x+f)(x+g)\,=\,0} \;\; \longrightarrow\;\; x=-f \vee x=-g\)

\(x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \vee x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(\text{"Combineer" de oplossingen met het symbool} \;"\pm":\)

\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

[Safe]

Ok, commentaar volgt.

[siep]

Nog een:

Gegeven:

a\cdot x^2 + b\cdot x + c = 0

met a ongelijk nul

Te bewijzen:

abc-formule

Bewijs:

a\cdot x^2 + b\cdot x + c = 0

deel links en rechts door a (= ongelijk nul):

x^2 + \frac{b}{a}\cdot x + \frac{c}{a} = 0

splits kwadraat af:

\left( x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0

\left( x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4a\cdot c}{4a^2}

x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4a\cdot c}{4a^2}} = \frac {\pm \sqrt{b^2 - 4a\cdot c}}{2a}

(het plus/min teken maakt de laatste equivalentie hierboven mogelijk)

x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4a\cdot c}}{2a}

[Sjoerd Job]

Mijn voorkeur gaat uit naar de volgende:

Stel dat er geldt

\(ax^2 + bx + c = 0\)

, en tevens

\(a\ne 0\)

Vermenigvuldiging met

\(4a\)

levert:

\(4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0\)

.
Aangezien

\((2ax+b)^2 - b^2 = 4a^2x^2 + 4abx\)

, kunnen we schrijven

\((2ax+b)^2 - b^2 + 4ac = 0\)

Dus ook

\((2ax+b)^2 = b^2 - 4ac\)

Het nemen van de wortel stelt ons in staat om te stellen

\(2ax+b = \sqrt{b^2 - 4ac}\)

of

\(2ax+b = -\sqrt{b^2 - 4ac}\)

Dus:

\(2ax = -b+\sqrt{b^2 - 4ac}\)

of

\(2ax = -b - \sqrt{b^2-4ac}\)

Omdat

\(a \ne 0\)

mogen we nu delen door

\(2a\)

.

\(x = \frac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

of

\(2ax = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Het mooiste aan deze afleiding vind ik dat het de vraag `wat is het teken van a'-vermijdt, in tegenstelling tot de afleiding die begint met delen-door-a ( dat wil zeggen, in de stap:

\(\pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\)

naar

\(\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

, welke alleen geldt als

\(a > 0\)

, anders wordt het namelijk

\(\mp\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

)

[Safe]

Gelukkig, dit is inderdaad een voordeel.

[drc.]

\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

en

\(x=\frac{-b \mp \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Stellen allebei hetzelfde voor. In die zin is geen methode correcter dan een andere methode.
Let wel op als

\(\pm\)

en/of

\(\mp\)

meer dan 1 keer in een vergelijking staan.

[Sjoerd Job]

\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

en

\(x=\frac{-b \mp \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Stellen allebei hetzelfde voor. In die zin is geen methode correcter dan een andere methode.
Let wel op als

\(\pm\)

en/of

\(\mp\)

meer dan 1 keer in een vergelijking staan.

Klopt, ze stellen allebei hetzelfde voor, maar meestal wordt de stap

\(\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \leadsto \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

gemaakt, met als argument dat

\(\sqrt{4a^2} = 2a\)

, maar meestal zelfs zonder argument.

[drc.]

Dat kan je onderbouwen door:

\(\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} = \;\;\;\;\;\;\;\; \sqrt{d^2}=|d|\\ \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|2a|}= \;\;\;\;\;\; \frac{|d|}{d}=\frac{d}{|d|}\\\pm \frac{|\sqrt{b^2-4ac}|}{2a}= \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{voor d} \ge 0 \;\text{geldt}: |d|=d \\ \\ \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

[Sjoerd Job]

Dat kan je onderbouwen door:

\(\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} = \;\;\;\;\;\;\;\; \sqrt{d^2}=|d|\\ \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|2a|}= \;\;\;\;\;\; \frac{|d|}{d}=\frac{d}{|d|}\\\pm \frac{|\sqrt{b^2-4ac}|}{2a}= \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{voor d} \ge 0 \;\text{geldt}: |d|=d \\ \\ \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Jij gebruikt

\(\frac{|d|}{d} = \frac{d}{|d|}\)

als

\(\frac{|a|}{b} = \frac{a}{|b}\)

, wat iets heel anders is.

Je kan het probleem inderdaad `omzeilen', maar je moet er toch altijd woorden aan vuil maken.

[drc.]

Ja, dat was niet zo "zuiver."

Splitsen in

\(a > 0\)

en

\(a < 0\)

(we hadden al

\(a \neq 0\)

)
Voor a>0:

\(\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} = \;\;\;\;\;\;\;\; \sqrt{d^2}=|d|\\ \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|2a|}= \;\;\;\;\;\; \frac{|a|}{b}=\frac{a}{|b|}\\\pm \frac{|\sqrt{b^2-4ac}|}{2a}= \\ \\ \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Voor a<0

\(\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} = \;\;\;\;\;\;\;\; \sqrt{d^2}=|d|\\ \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|2a|}= \;\;\;\;\;\; \frac{|d|}{f}=-\frac{d}{|f|} \text{voor} f<0\\\mp \frac{|\sqrt{b^2-4ac}|}{2a}= \\ \\ \mp \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(\mp \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \;en \\ \\ \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Stellen beiden hetzelfde voor, dus

\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

[siep]

Natuurlijk vindt ik mijn bewijs het mooiste , omdat het kort is en aansluit bij de manier waarop je de vergelijking zonder kennis van de abc-formule met de hand zou oplossen.

Het bewijs van Sjoerd Job is beter omdat dit met een kleine omweg (= vermenigvuldiging met 4a) een heleboel discussie voorkomt.
Niet alleen het plus/min of min/plus probleem, maar ook de wortel-splitsing die we hier nog niet besproken hebben:

\pm \sqrt{\frac{b^2 - 4a\cdot c}{4a^2}} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4a\cdot c}}{\sqrt{4a^2}}

Voor nog meer zuiverheid moet je vermelden dat deze stap mogelijk is omdat de noemer gegarandeerd positief is (a ongelijk nul, dus 4a^2>0).
In R is dit een voorwaarde, vergelijk

\sqrt{\frac{-6}{-3}} \;\neq\; \frac{\sqrt{-6}}{\sqrt{-3}}

Sjoerd Job voorkomt ook dit probleem, en verdient daarom wat mij betreft de beste-bewijs-prijs.

[Safe]

Bedankt voor jullie bijdrage.
De reden waarom ik dit vroeg was om te weten hoe jullie dit zouden aanpakken. In 't bijzonder om te zien of de manier van Sjoerd Job algemeen bekend is.
In de leerboeken die ik onder ogen heb gehad ben ik het niet tegengekomen.
Nu heb ik niet voor niets de drie termen benoemd. Merkwaardig genoeg is dit niet overgenomen terwijl in het hanteren van de formule hier juist de meeste fouten gemaakt worden.

We gaan uit van reële coëfficiënten a, b en c en van reële oplossingen voor x.
a als coëfficiënt van de kwadratische term. b van de lineaire term en c de constante term.
a=b=c=0 levert een identiteit dus de opl verz is R.
a=b=0 geeft een valse verg, geen opl.
a=0 => lineaire verg: x=-c/b
c=0 => standaard ontbinding: ax(x+b/a)=0 <=> x=0 of x=-b/a.
Het meest interessant: a, b en c ongelijk 0. De lineaire term wordt opgenomen in een geheel kwadraat door de techniek van kwadraat afsplitsen. Maar daarvoor vermenigvuldigen met 4a (dit mag, a ongelijk 0), dit om van de kwadratische term een volledig kwadraat te maken:

\(4a^2x^2+4abx+4ac=0\)

\((2ax)^2+2(2ax)b+b^2=b^2-4ac\)

\((2ax+b)^2=D \; \met \; D=b^2-4ac\)

D noemen we voortaan de discriminant omdat deze de aantallen opl onderscheidt (discrimineert)
1. D>0 twee (reele) opl
2. D=0, één opl.
3. D<0, geen opl.
De opl verz.:

\(x_{1.2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

Constatering: a ongelijk 0 levert ten hoogste twee opl.

Opm: Ik heb al eens eerder deze afleiding op internet gezet, alleen zou ik nu niet meer weten waar.
.