oneindig lange formules

[barto]

Het zou wel eens kunnen dat je een oneindig lange formule tegenkomt in een wiskunde-oefening. Als er een patroon te vinden is, kun je het oplossen.

vb1:

\(x=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{....}}}}}\)

Je ziet onmiddellijk dat

\(x^2=x+1\)

Die vergelijking kun je gemakkelijk oplossen en je krijgt

\(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

of

\(x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)

vb2:

\(x=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+....}}}\)

Je vindt dat

\(x-1=\frac{1}{x}\)

Die kun je ook oplossen en je vindt dezelfde oplossingen als hierboven.

vb3:
Met variabelen kan het ook:

\(x=a+\frac{1}{b+\sqrt{a+\frac{1}{b+\sqrt{a+\frac{1}{b+\sqrt{...}}}}}}\)

Je vindt:

\(\frac{1}{x-a}=b+\sqrt{x}\)

of misschien beter te zien:

\(x=a+\frac{1}{b+\sqrt{x}}\)

(een meer algemene weg)

vb4:

\(x=1+\frac{2}{1+\frac{2}{1+...}+\frac{3}{1+...}}+\frac{3}{1+\frac{2}{1+...}+\frac{3}{1+...}}\)

Ziet er misschien ingewikkeld uit, maar kijk hoe het is opgebouwd:

\(x=1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x}\)

[drc.]

Voorbeeld 1).

\(x=\sqrt{1+x}\)

Dus x >= 0 toch?

Als er een patroon te vinden is, kun je het oplossen.

Heeft dit je al geholpen voor het vermoeden van Collatz? (Het kan helpen het vermoeden anders te omschrijven dan tot nu toe).

[wnvl]

Als je van dit soort formules houdt, moet je onderstaand product eens proberen uit te rekenen.
De formule convergeert in elk geval.

x=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\cdots.

[barto]

als je kunt bewijzen dat elke breuk kleiner is dan 1 is x=0 denk ik.
dus voor de eerste: teller<noemer?

\(\begin{align*} \sqrt{2}&<2 \\ 2&<4 \end{align*}\)

de tweede:

\(\begin{align*} \sqrt{2+\sqrt{2}}&<2 \\ 2+\sqrt{2}&<4\\ \sqrt{2}&<2\\ 2&<4 \end{align*}\)

dus met inductie:

\(\begin{align*} \overset{k\; wortels}{\overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}&<2 \\ 2+\overset{k-1\; wortels}{\overbrace{\sqrt{2+...}}}&<4\\ \overset{k-1\; wortels}{\overbrace{\sqrt{2+...}}}&<2 \end{align*}\)

en voor k=1 is het bovenaan bewezen, dus elke breuk is kleiner dan 1

[barto]

Voorbeeld 1).

\(x=\sqrt{1+x}\)

Dus x >= 0 toch?

hmm ja

uiteraard hangt het weer af van de notatie van vierkantswortels.
als je

\(\sqrt{x}\)

de notatie noemt voor de positieve wortel begrijp ik wat je bedoelt.
en dan is

\(x^2=x+1\)

een foute interpretatie

[wnvl]

als je kunt bewijzen dat elke breuk kleiner is dan 1 is x=0 denk ik.
dus voor de eerste: teller<noemer?

\(\begin{align*} \sqrt{2}&<2 \\ 2&<4 \end{align*}\)

de tweede:

\(\begin{align*} \sqrt{2+\sqrt{2}}&<2 \\ 2+\sqrt{2}&<4\\ \sqrt{2}&<2\\ 2&<4 \end{align*}\)

dus met inductie:

\(\begin{align*} \overset{k\; wortels}{\overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}&<2 \\ 2+\overset{k-1\; wortels}{\overbrace{\sqrt{2+...}}}&<4\\ \overset{k-1\; wortels}{\overbrace{\sqrt{2+...}}}&<2 \end{align*}\)

en voor k=1 is het bovenaan bewezen, dus elke breuk is kleiner dan 1

Niet slecht geprobeerd, maar als k naar

\(\infty\)

gaat, evolueert

\(\sqrt{2+\sqrt{2+...}}\)

naar 2. De factor evolueert dus in de limiet naar 1, daarom mag je zomaar niet concluderen dat het product divergeert naar 0.

De oplossing is niet zo eenvoudig te vinden. Dit product blijkt heel verrassend te convergeren naar

\(\frac{2}{\pi}\)

.

Voor meer info over dit product, zie http://en.wikipedia.org/wiki/Vi%C3%A8te%27s_formula

[barto]

toch nog steeds vreemd, bekijk dit eens:

\(\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*\frac{3}{4}*\frac{4}{5}*....\)

hier naderen de breuken ook naar 1/1, terwijl het geheel nadert naar 0:

\(\frac{1}{\not{2}}*\frac{\not{2}}{3}*\frac{3}{4}*\frac{4}{5}*....=\frac{1}{\not{3}}*\frac{\not{3}}{4}*\frac{4}{5}*....=......=\frac{1}{999}*...=...\)

[drc.]

Voorbeeld 1).

\(x=\sqrt{1+x}\)

Dus x >= 0 toch?

hmm ja

uiteraard hangt het weer af van de notatie van vierkantswortels.
als je

\(\sqrt{x}\)

de notatie noemt voor de positieve wortel begrijp ik wat je bedoelt.
en dan is

\(x^2=x+1\)

een foute interpretatie

Ik vind het niet verkeerd om x^2 = x + 1 te gebruiken. Je hebt een techniek geleerd om die vergelijking op te lossen, en die gebruik je om x te vinden zodat

\(x=\sqrt{1+x}\)

.
Maar dan moet je stellen x >= 0 voor het kwadrateren. Als je je oplossingen controleert zit je helemaal goed. Voor

\(\sqrt{x}\)

wordt doorgaans (altijd) de positieve wortel genomen.

[wnvl]

toch nog steeds vreemd, bekijk dit eens:

\(\frac{1}{2}*\frac{2}{3}*\frac{3}{4}*\frac{4}{5}*....\)

hier naderen de breuken ook naar 1/1, terwijl het geheel nadert naar 0:

\(\frac{1}{\not{2}}*\frac{\not{2}}{3}*\frac{3}{4}*\frac{4}{5}*....=\frac{1}{\not{3}}*\frac{\not{3}}{4}*\frac{4}{5}*....=......=\frac{1}{999}*...=...\)

Uit het feit dat de laatste factor nadert naar 1, kan je niet concluderen of het product convergeert of divergeert.

[barto]

ik zou toch zeggen dat

\(\frac{1}{iets\: heel\: groot}*(ongeveer\: 1)\approx 0\)

[Safe]

Uit het feit dat de laatste factor nadert naar 1, kan je niet concluderen of het product convergeert of divergeert.

Welke laatste factor ...

Opm: Overigens hoort dit niet bij Tutorials

[wnvl]

Uit het feit dat de laatste factor nadert naar 1, kan je niet concluderen of het product convergeert of divergeert.

Welke laatste factor ...

Ik heb het hier over de laatste factor van een oneindig product

\(\prod_{n=1}^{\infty}a_{n}\)

\(\lim_{n \to \infty} a_{n}=1\)

is een nodige maar geen voldoende voorwaarde voor convergentie.

Opm: Overigens hoort dit niet bij Tutorials

ja, misschien moeten we een tutorial over convergentiecriteria van oneindige producten starten

[Safe]

Een oneindig voortlopende reeks heeft geen laatste term ...
Je kan wel spreken over de n-de term ...

[wnvl]

Een oneindig voortlopende reeks heeft geen laatste term ...
Je kan wel spreken over de n-de term ...

Laatste term is inderdaad slecht uitgedrukt, bedoel

\(\lim_{n \to \infty} a_{n}\)

, maar dat zal iedereen wel begrepen hebben zeker.

[Safe]

Ok, definieer nu:
P1=1/2; P2=1/2*2/3; P3=1/2*2/3*3/4 ... ; Pn=1/(n+1); ...
Bekijk:

\(\lim_{n \to \infty} P_{n}\)