Puzzels\(V = \{(A,B,C) | A,B,C \in \mathbb{R}^3 \wedge A \neq B \}\)
.Een element van
\(V\)
noemen we een geordende driehoek.We maken nog een afbeelding die aan een geordende driehoek zijn in- en uitproduct toevoegt
\(f : V \to \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 : (A,B,C) \mapsto \frac{1}{|AB|^2}(AB\cdot AC,AB \times AC})\)
Het is duidelijk dat b.v.
\(f((A,B,C))\)
en \(f((B,A,C))\)
verschillende waarden kunnen opleveren.\(f((A,B,C)) = f((P,Q,R))\)
als deze geordende driehoeken gelijkvormig zijn, d.w.z. als\(\frac{|AC|}{|AB|} = \frac{|PR|}{|PQ|}\)
en hoek \(A\)
= hoek \(P\)
.De klasse van gelijkvormige geordende driehoeken waartoe
\((A,B,C)\)
behoort geven we aan met \([u,v]\)
als \(f((A,B,C))=(u,v)\)
. \([u,v]\)
noemen we vanaf nu een driehoek.We kunnen driehoeken optellen en vermenigvuldigen.
Optellen is eenvoudig:
\([u,v] + [x,y] = [u+x,v+y]\)
Vermenigvuldigen:
\([u,v].[x,y] = [s,t]\)
Er zijn altijd twee geordende driehoeken te vinden met één gemeenschappelijke tussenzijde zodat
\(f((A,B,C)) = (u,v)\)
en \(f((A,Q,B)) = (x,y)\)
(ga na!).Dan is
\(f((A,Q,C)) = (s,t)\)
.\([u,v].[x,y] = [ux-v\cdot y,uy+xv+v\times y]\)
Driehoeken zijn quaternionen.
Kies een basis
\(\{i,j,k\}\)
in \(\mathbb{R}^3\)
.Dan is
\([a_0,v] = [a_0,a_1 i + a_2 j + a_3 k]\)
met \(a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}\)
.Schrijf ter verkorting
\([0,i] = i\)
enz. en \([a,0] = a\)
, dan is\([a_0,v] = a_0+a_1 i + a_2 j + a_3 k\)
(driehoek is quaternion).Rekenen met quaternionen komt overeen met rekenen met driehoeken.
Driehoeken zijn ook complexe getallen.
\([u,v] = r(\cos(\phi) + I\sin(\phi))\)
waarbij\(I\)
een driehoek is waarvoor geldt \(I^2=-1\)
, en als
\(f((A,B,C)=(u,v)\)
, dan is hoek A = \(\phi\)
en
\(r = \frac{|CD|}{|AB|}\)
.
