Voortbrenger/generator van een groep

[Ilona_sciencetalk]

Hi, nieuw vak, nieuw probleem. Voortbrengers van een groep. Ofwel in het engels: generator.

Ik begin het met simpele groepen redelijk te snappen, maar nu gaat het bijvoorbeeld over dingen met matrices.

Bijvoorbeeld de vraag:

Gegeven is de ondergroep G = { \begin{pmatrix} \bar{a} & \bar{b}\\ \bar{0}& \bar{1} \end{pmatrix} met \bar{a} in \{\bar{1},\bar{3},\bar{9}\} en \bar{b} in \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}} van GL_2(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}), de inverteerbare 2x2-matrices met coëfficienten modulo 13.

Zij N = {\begin{pmatrix} \bar{a} & \bar{b}\\ \bar{0}& \bar{1} \end{pmatrix} met \bar{b} in \mathbb{Z}/13\mathbb{Z} } de ondergroep van G voortgebracht door \begin{pmatrix} \bar{1} & \bar{1}\\ \bar{0}& \bar{1} \end{pmatrix}.
Leg uit waarom een ondergroep H van G met H\cap N = \begin{pmatrix} \bar{1} & \bar{1}\\ \bar{0}& \bar{1} \end{pmatrix}uit 1 of 3 elementen bestaat.



Maar wat betekent nou precies dat N de ondergroep van G is voortgebracht door die matrix? Hoe moet ik dat zien? En wat heeft H doorsnede N daarmee te maken?

Ik hoor graag hoe het werkt... hopelijk kan iemand me iets meer duidelijk maken.
Groetjes Ilona

[Safe]

Ga eerst eens na wat de elementen van deze groep zijn ...


Opm: Het is duidelijk dat met a een restklasse (mod 13) wordt bedoeld, het lijkt me verder niet nodig om dit met een 'bovenstreep' aan te geven

[Ilona_sciencetalk]

Hi
Ik zie nu dat ik een fout heb gemaakt in dit stuk:

Zij N = {\begin{pmatrix} \bar{a} & \bar{b}\\ \bar{0}& \bar{1} \end{pmatrix} met \bar{b} in \mathbb{Z}/13\mathbb{Z} }

en

Leg uit waarom een ondergroep H van G met H\cap N = \begin{pmatrix} \bar{1} & \bar{1}\\ \bar{0}& \bar{1} \end{pmatrix}uit 1 of 3 elementen bestaat.[/i]

Het moet zijn: N = {\begin{pmatrix} \bar{1} & \bar{b}\\ \bar{0}& \bar{1} \end{pmatrix} met \bar{b} in \mathbb{Z}/13\mathbb{Z} }

en H\cap N = \begin{pmatrix} \bar{1} & \bar{0}\\ \bar{0}& \bar{1} \end{pmatrix}


Heel stom, want dan schiet ik niets op met deze vraag hier. Maar, ik heb even gepuzzeld en dit is mijn conclusie (ik heb alle bovenstreepjes weggelaten, teveel typewerk en inderdaad, uit modulo is het duidelijk):


Ik heb bedacht dat als a=1, dan moet b=0 want anders zou de doorsnede met N gelijk zijn aan N. Dus je gaat uit van b=0. Dus
\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} is een ondergroep (en gelijk de identiteit)

Als a=3 dan moet het product ook er in zitten, want anders is het geen ondergroep en het product is de matrix \begin{pmatrix} 9&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}. Maar het product van \begin{pmatrix} 9&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} en dus moeten ze er alle 3 in zitten en heeft de ondergroep dus 3 elementen. Er zijn dus 2 van deze ondergroepen.
Klopt dit?



Nu moet ik nog bedenken wat alle ondergroepen van G zijn.

Dat kan natuurlijk N zijn en bovenstaande twee ondergroepen, maar zijn er nog meer?
Ik kan zo niets meer bedenken maar misschien mis ik iets.

[Safe]

Het eerste klopt ...

Nu moet ik nog bedenken wat alle ondergroepen van G zijn.

Dat kan natuurlijk N zijn en bovenstaande twee ondergroepen, maar zijn er nog meer?
Ik kan zo niets meer bedenken maar misschien mis ik iets.

Wat bedoel je met N ...
Bedenk dat een ondergroep altijd e moet bevatten! Verder is een ondergroep een groep met dezelfde operatie

Blijft de vraag welke elementen bevat G ...

[Ilona_sciencetalk]

G = { \begin{pmatrix} \bar{a} & \bar{b}\\ \bar{0}& \bar{1} \end{pmatrix} met \bar{a} in \{\bar{1},\bar{3},\bar{9}\} en \bar{b} in \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}} van GL_2(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}), de inverteerbare 2x2-matrices met coëfficienten modulo 13.


N = {\begin{pmatrix} \bar{1} & \bar{b}\\ \bar{0}& \bar{1} \end{pmatrix} met \bar{b} in \mathbb{Z}/13\mathbb{Z} }


vraag b) is dus alle H (ondergroepen van G) bepalen waarvoor geldt dat H\cap N = \begin{pmatrix} \bar{1} & \bar{0}\\ \bar{0}& \bar{1} \end{pmatrix}.

Ik kwam uit op 14 ondergroepen:

{e} en \{$\begin{pmatrix} \bar{3} & \bar{b} \\\bar{0} & \bar{1}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \bar{9} & \bar{4b} \\ \bar{0} & \bar{1}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \bar{1} & \bar{0} \\ \bar{0} & \bar{1} \end{pmatrix}$\}

voor alle b in modulo 13. Die bevatten allemaal e, hun inverse en zijn gesloten onder dezelfde operatie.




Vraag c) is: Bepaal nu alle ondergroepen van G. (Hint: als H een ondergroep is, wat kan H \cap N dan zijn?)

Dus alle ondergroepen van G zijn sowieso die genoemd bij vraag b)
daarnaast is N een ondergroep van G en daarnaast is G een ondergroep van zichzelf. Dat lijken me dan alle mogelijke ondergroepen.