Continuiteit op metrische ruimte.

[Ilona_sciencetalk]

Hoi, ik zit een klein beetje vast met een bewijs over continuïteit op metrische ruimtes. De vraag is als volgt:

Laat (X,d) een metrische ruimte zijn, met standaard metriek, en A \subset X een niet-lege verzameling. Laat zien dat de functie f: X \rightarrow \mathbb{R}, gegeven door f(x) := d(x,A) is continu.


We hebben de stelling gehad:

De functie is continu, dan en slechts dan als U open in \mathbb{R} impliceert dat f^{-1}(U) open is in X.

Dus ik dacht te beginnen met: Neem aan dat U \subset \mathbb{R} open is. Dan is er dus een \epsilon > 0 zodanig dat B_\epsilon(f(x)) \subset U.

Alleen dan loop ik alweer een klein beetje vast met de volgende stap...
Kan iemand mij helpen met welek volgende stap ik hier zou moeten zetten?


En wat is precies waar ik op uit moet komen? Ja, f^{-1}(U) open is in X, dus er is een \epsilon > 0 zodanig dat B_\epsilon(f^{-1}(U)) \subset X?

[op=op]

Zou je het niet beter recht toe recht aan bewijzen.
Stel x1, x2, x3, ... convergeert naar x
Toon dan aan dat d(xn, A) convergeert naar d(x,A).

[Ilona_sciencetalk]

Ik zou het graag zo bewijzen maar ik heb wat moeite met de limietrijen maar daar kan ik wel even aan knutselen.