Oefeningen Callahan's "The Geometry of Spacetime"

[Professor Puntje]

In dit topic zal ik de interessante oefeningen uit Callahan's The Geometry of Spacetime proberen te maken.

[Professor Puntje]

Deze oefening is interessant:

Eerst het volgende: De v staat dan kennelijk voor een fractie van de lichtsnelheid (vaak ook als \( \beta \) aangeduid) want anders kun je v² niet van 1 aftrekken. Maar hoe zit het met \( \lambda \)? Dat zou een tijdsduur moeten zijn want anders klopt de formule niet, maar dat lambda in lichtseconden is uitgedrukt maakt het nog geen tijdsduur. Hoe moet dit begrepen worden? Of worden we geacht ook de reistijd \( T_{\bot}(v) \) (door vermenigvuldiging met c) in afstanden uit te drukken?

[flappelap]

Ik ken het boek niet, maar als er eenheden c = 1 worden gekozen, dan geldt [x] = [t] en dus kun je de golflengte in lichtseconden uitdrukken.

[Professor Puntje]

Het boek gebruikt inderdaad c=1. En kun je dan ook een tijdsduur in lichtseconden uitdrukken? Zo ja dan is dat waarschijnlijk wat er gebeurt. Als zowel een tijdsduur als een afstand in lichtseconden kunnen worden uitgedrukt dan worden snelheden inderdaad dimensieloos. Dan heb je dus v/c = v. Ik zal er aan moeten wennen.

[Professor Puntje]

We beginnen met 1.(a):

De berekening dient gemaakt te worden op basis van de naïeve ether-voorstelling, dus zonder de door Lorentz en anderen voorgestelde correcties. In het etherframe beweegt het licht dan met de snelheid c, terwijl de waarnemer G tezamen met de spiegel ten opzichte van het etherframe met een snelheid v beweegt. Dus in het etherframe hebben we dan onderstaande situatie (met de lichtbaan in het oranje):

situatie-a 1499 keer bekeken

We zien dat:

\( (T_1 \cdot c)^2 = \lambda^2 + (v T_1)^2 \)

\( (T_1)^2 = \lambda^2 + v^2 (T_1)^2 \)

\( (T_1)^2 - v^2 (T_1)^2 = \lambda^2 \)

\( (T_1)^2 (1 - v^2) = \lambda^2 \)

\( (T_1)^2 = \frac{\lambda^2}{ 1 - v^2 } \)

\( T_1 = \frac{\lambda}{ \sqrt{1 - v^2 }} \)

Wegens de symmetrie hebben we T₁ = T₂ , dus :

\( T_{\bot}(v) = T_1 + T_2 \)

\( T_{\bot}(v) = 2 T_1 \)

\( T_{\bot}(v) = \frac{2 \lambda}{ \sqrt{1 - v^2 }} \)

[Professor Puntje]

Voor de gemiddelde loodrechte lichtsnelheid volgens waarnemer G vinden we dan:

\( c_{\bot} = \frac{2 \lambda }{T_{\bot}(v)} \)

\( c_{\bot} = \sqrt{1 - v^2} \)

[Professor Puntje]

Dan 1.(b). In dat geval hebben we ten opzichte van het etherframe de onderstaande situatie:

Op de heenweg moet de lichtstraal een afstand \( \lambda + v T_1 \) overbruggen om bij de spiegel te komen. Dus:

\( T_1 \cdot c = \lambda + v T_1 \)

\( T_1 = \lambda + v T_1 \)

\( T_1 - v T_1 = \lambda \)

\( T_1 (1 - v) = \lambda \)

\( T_1 = \frac{\lambda}{1 - v} \)

\( T_1 = \frac{\lambda (1+v)}{(1 - v)(1+v)} \)


Op de terugweg moet het licht een afstand \( \lambda - v T_2 \) overbruggen om bij waarnemer G terug te keren. En dus:

\( T_2 \cdot c = \lambda - v T_2 \)

\( T_2 = \lambda - v T_2 \)

\( T_2 + v T_2 = \lambda \)

\( T_2 (1 + v) = \lambda \)

\( T_2 = \frac{\lambda}{1 + v} \)

\( T_2 = \frac{\lambda (1-v)}{(1-v)(1 + v)} \)


Dus:

\( T_{\parallel}(v) = T_1 + T_2 \)

\( T_{\parallel}(v) = \frac{2 \lambda}{(1-v)(1 + v)} \)

\( T_{\parallel}(v) = \frac{2 \lambda}{1 - v^2} \)

[Professor Puntje]

Voor de gemiddelde parallelle lichtsnelheid volgens waarnemer G vinden we dan:

\( c_{\parallel} = \frac{2 \lambda }{T_{\parallel}(v)} \)

\( c_{\parallel} = 1 - v^2 \)

[Professor Puntje]

Voor (c) zit ik nu weer even met die grote-O-notatie...

[wnvl1]

Voor beide uitdrukkingen een reeksontwikkeling opstellen. Dat kan bvb via het binomium van Newton.

[Professor Puntje]

\( T_{\bot}(v) = \frac{2 \lambda}{ \sqrt{1 - v^2 }} \)

Dus:

\( T_{\bot}(v) = 2 \lambda \cdot \frac{1}{ \sqrt{1 - v^2 }} \)

Op Wikipedia lees ik:

Waarmee we krijgen:

\( T_{\bot}(v) = 2 \lambda \cdot ( 1 + \frac{1}{2} v^2 + \frac{3}{8} v^4 + \frac{5}{16} v^6 + \frac{35}{128} v^8 + \frac{63}{256} v^{10} + ... ) \)

[Professor Puntje]

\( T_{\parallel}(v) = \frac{2 \lambda}{1 - v^2} \)

Dus:

\( T_{\parallel}(v) = 2 \lambda \cdot \frac{1}{1 - v^2} \)

Op Wikipedia zien we:

wiki2 1418 keer bekeken

Dus:

\( T_{\parallel}(v) = 2 \lambda \cdot ( 1 + v^2 + v^4 + v^6 + v^8 + ... ) \)

[Professor Puntje]

\( T_{\parallel} - T_{\bot} = 2 \lambda \cdot ( \frac{1}{2} v^2 + \frac{5}{8} v^4 + \frac{11}{16} v^6 + \frac{93}{128} v^8 + ... ) \)

\( T_{\parallel} - T_{\bot} = \lambda \cdot ( v^2 + \frac{5}{4} v^4 + \frac{11}{8} v^6 + \frac{93}{64} v^8 + ... ) \)

\( T_{\parallel} - T_{\bot} = \lambda v^2 \cdot ( 1 + \frac{5}{4} v^2 + \frac{11}{8} v^4 + \frac{93}{64} v^6 + ... ) \)

\( T_{\parallel} - T_{\bot} = v^2 \cdot ( \lambda + \frac{5}{4} \lambda v^2 + \frac{11}{8} \lambda v^4 + \frac{93}{64} \lambda v^6 + ... ) \)

\( T_{\parallel} - T_{\bot} = v^2 \cdot ( \lambda + v^2 \cdot (\frac{5}{4} \lambda + \frac{11}{8} \lambda v^2 + \frac{93}{64} \lambda v^4 + ... )) \)

Maar wat doen we dan met dit deel: \( v^2 \cdot (\frac{5}{4} \lambda + \frac{11}{8} \lambda v^2 + \frac{93}{64} \lambda v^4 + ... ) \) ?

[wnvl1]

Dat valt onder de grote O v kwadraat.

[Professor Puntje]

\( T_{\parallel} - T_{\bot} = v^2 \cdot ( \lambda + v^2 \cdot (\frac{5}{4} \lambda + \frac{11}{8} \lambda v^2 + \frac{93}{64} \lambda v^4 + ... )) \)

Maar wat doen we dan met dit deel: \( v^2 \cdot (\frac{5}{4} \lambda + \frac{11}{8} \lambda v^2 + \frac{93}{64} \lambda v^4 + ... ) \) ?

Noem \( v^2 \cdot (\frac{5}{4} \lambda + \frac{11}{8} \lambda v^2 + \frac{93}{64} \lambda v^4 + ... ) \) voorlopig even R(v²). Dan hebben we:

\( T_{\parallel} - T_{\bot} = v^2 \cdot ( \lambda + \mathrm{R}(v^2)) \)

Met:

\( \frac{\mathrm{R}(v^2)}{v^2} = \frac{5}{4} \lambda + \frac{11}{8} \lambda v^2 + \frac{93}{64} \lambda v^4 + ... \)

\( \lim\limits_{v^2 \rightarrow 0} \frac{\mathrm{R}(v^2)}{v^2} = \frac{5}{4} \lambda \)

Volgt daaruit?:

\( \mathrm{R}(v^2) = \mathrm{O}(v^2) \)