verdelingswet van Maxwell Boltzman

[aadkr]

ik probeer een afbeelding te uploaden.
het gaat over het boek statistische machanica van alonso en finn
ik snap het differentieren niet.
ze stellen N is constant dus dN=0

[Professor Puntje]

Grappig - dat boek heb ik ook! Eerste stap maakt gebruik van "differentiaal van de som is de som van de differentialen" en van de productregel uitgedrukt in differentialen.

[ukster]

In veel fysische systemen (zoals statistische mechanica) is gᵢ vaak constant omdat het het degeneratiegetal of statistisch gewicht van toestand i voorstelt - een eigenschap van het systeem zelf die niet verandert.

Stap 1: Neem de differentiaal van beide kanten d(ln P) = d(N ln N) - d(Σᵢ nᵢ ln nᵢ/gᵢ)
Stap 2: Bereken d(N ln N) Omdat N constant is: dN = 0 d(N ln N) = d(constant) = 0
Stap 3: Bereken d(Σᵢ nᵢ ln nᵢ/gᵢ) d(Σᵢ nᵢ ln nᵢ/gᵢ) = Σᵢ d(nᵢ ln nᵢ/gᵢ)
Stap 4: Bereken d(nᵢ ln nᵢ/gᵢ) voor elke term Gebruik de productregel: d(uv) = u dv + v du
Stel u = nᵢ en v = ln nᵢ/gᵢ = ln nᵢ - ln gᵢ
Dan:
• du = dnᵢ
• dv = d(ln nᵢ - ln gᵢ) = d(ln nᵢ) - d(ln gᵢ) = (1/nᵢ)dnᵢ - 0 = (1/nᵢ)dnᵢ (omdat gᵢ constant is)
Dus: d(nᵢ ln nᵢ/gᵢ) = nᵢ · (1/nᵢ)dnᵢ + (ln nᵢ/gᵢ) · dnᵢ = dnᵢ + (ln nᵢ/gᵢ)dnᵢ = (1 + ln nᵢ/gᵢ)dnᵢ
Stap 5: Substitueer terug d(Σᵢ nᵢ ln nᵢ/gᵢ) = Σᵢ (1 + ln nᵢ/gᵢ)dnᵢ
Stap 6: Combineer alles d(ln P) = 0 - Σᵢ (1 + ln nᵢ/gᵢ)dnᵢ
Eindresultaat: d(ln P) = -Σᵢ (1 + ln nᵢ/gᵢ)dnᵢ

[aadkr]

hartelijk dank Ukster.
Met de nodige moeite kan ik je afleiding volgen. Knap gedaan.
In hetzelfde boek gebruiken ze ook de multiplicatorenstelling van Lagrange.
Ik heb die stelling bestudeerd uit het boek Analyse deel:2 van Grootendorst en meulenbeld . dit kan ik redelijkvolgen maar de voorbeelden in dit boek gaan maar over 1 multeplicator, terwijl voor de volledige afleiding van de verdelingswet in het boek van statische fisica gebruiken ze 2 multiplicatoren nml, alpha en beta.
Hier maken de heren van dit boek zich wat makkelijk van af.
dat begrijp ik dus niet.

[wnvl1]

Hier de uitwerking van chatgpt met 2 multiplicatoren. Misschien helpt dat.






We willen de meest waarschijnlijke verdeling \(f(v)\) van snelheden \(v\) vinden, onder de volgende voorwaarden:

1. **Aantal deeltjes is constant:**

$$
\int f(v)\,dv = N
$$

2. **Totale energie is constant:**

$$
\int \tfrac{1}{2} m v^2 f(v)\,dv = E
$$

Deze beperkingen worden ingevoerd met **twee Lagrange-multiplicatoren**: \(\alpha\) en \(\beta\).

---

## Afleiding in stappen

### 1. **Entropie maximaliseren (of equivalent: waarschijnlijkheid)**

We beschouwen \(f(v)\), de verdeling van snelheden. We willen:

$$
\delta \left[ \ln W - \alpha \left( \int f(v)\,dv - N \right) - \beta \left( \int \tfrac{1}{2}mv^2 f(v)\,dv - E \right) \right] = 0
$$

Waar \(W\) het aantal microtoestanden is, dat maximaal is bij evenwicht.

---

### 2. **Maximaliseren met variatie (variatierekening)**

We gebruiken de vorm van de entropie:

$$
S = -k \int f(v) \ln f(v)\,dv
$$

Dus we minimaliseren:

$$
\delta \left[ \int f(v) \ln f(v)\,dv + \alpha \int f(v)\,dv + \beta \int \tfrac{1}{2}mv^2 f(v)\,dv \right] = 0
$$

---

### 3. **Oplossen van de variatievoorwaarde**

We nemen de functionele afgeleide:

$$
\frac{\delta}{\delta f(v)} \left[ f(v) \ln f(v) + \alpha f(v) + \beta \tfrac{1}{2}mv^2 f(v) \right] = 0
$$

→

$$
\ln f(v) + 1 + \alpha + \beta \tfrac{1}{2}mv^2 = 0
$$

→

$$
f(v) = \exp(-1 - \alpha - \beta \tfrac{1}{2}mv^2)
$$

→

$$
f(v) = A \exp\left(-\beta \tfrac{1}{2}mv^2\right)
$$

waar \(A = \exp(-1 - \alpha)\) een normalisatieconstante is.

---

### 4. **Volledige verdeling (1D of 3D)**

Voor **snelheid in 3D** krijg je:

$$
f(v) = C v^2 \exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right)
$$

waarbij \(C\) een normalisatieconstante is en \(kT = 1/\beta\). Dit is de **Maxwell-Boltzmann snelheidsverdeling**.

---

## Resultaat: Maxwell-Boltzmann verdeling in 3D

$$
f(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 \exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right)
$$

[aadkr]

beste ukster wilt u het voorrekenen. het is voor mij te moeilijk.
aad

[aadkr]

[Professor Puntje]

De g_i zijn constanten dus de ln(g_i) vallen bij het differentiëren weg.

[ukster]

[aadkr]

Professor puntje en Ukster, nu begrijp ik het. hartelijk dank.