Toepassingen van eigenvectoren in ART

[wnvl1]

Doel van dit topic is te kijken naar de toepassingen van eigenvectoren in de ART.

Eerste toepassing zijn de eigenvectoren van de energie-impulstensor.

Tijdachtige eigenvectoren van de energie-impulstensor komen overeen met de 4-snelheid van een “natuurlijke” waarnemer: een waarnemer waarvoor de energiestroomvector puur tijdachtig is (dus in dat referentiekader geen netto momentumstromen zijn). De bijbehorende eigenwaarde is de energiedichtheid die deze waarnemer meet. Voor een ideaal stofmodel (perfect fluid) is deze tijdachtige eigenvector gewoon de 4-snelheid \(u^\mu\) van de vloeistof. Ruimtelijke eigenvectoren komen overeen met richtingen waarin de spanningen (druk of trek) zuiver werken. Hun eigenwaarden zijn de hoofddrukken of -spanningen in die richtingen. Deze richtingen zijn analoog aan de hoofdspanningsrichtingen in klassieke mechanica van vaste stoffen.


-------------------------------------------

# 1. Tensor als lineaire transformatie

Beschouw de energie-impulstensor \(T^{\mu\nu}\). Als lineaire transformatie op de tangentruimte gebruiken we de gemengde vorm

\[T^\mu{}_{\nu} \;=\; g_{\nu\alpha}\,T^{\mu\alpha}.\]

De eigenwaarde-vergelijking is

\[T^\mu{}_{\nu}\,v^\nu \;=\; \lambda\,v^\mu,\]

met \(v^\mu\) een (niet-nul) eigenvector en \(\lambda\) de bijbehorende eigenwaarde. Oplossen gebeurt via

\[\det\!\big(T^\mu{}_{\nu}-\lambda\,\delta^\mu{}_{\nu}\big)=0.\]

Fysisch interpreteren we de aard van \(v^\mu\) (tijdachtig, lichtachtig, ruimtelijk) en de bijbehorende \(\lambda\): vaak is één tijdachtige eigenvector gekoppeld aan de rust-vier-snelheid van materie en geven de ruimtelijke eigenvectoren hoofdspanningen/energiefluxrichtingen.

---

# 2. Perfect fluïdum — expliciete uitwerking

Voor een perfect fluïdum geldt (in covariante vorm)

\[T^{\mu\nu}=(\rho+p)\,u^\mu u^\nu + p\,g^{\mu\nu},\]

waar \(\rho\) de energie-dichtheid (zoals gemeten in het fluïdum-rustframe) is, \(p\) de (isotrope) druk en \(u^\mu\) de vier-snelheid (\(u^\mu u_\mu=-1\)).

De gemengde vorm is

\[T^\mu{}_{\nu} = (\rho+p)\,u^\mu u_\nu + p\,\delta^\mu{}_{\nu}.\]

Nu checken we twee soorten kandidaten voor eigenvectoren.

1. Tijdachtige kandidaat \(v^\mu = u^\mu\):

\[T^\mu{}_{\nu}u^\nu = (\rho+p)\,u^\mu (u_\nu u^\nu) + p\,u^\mu
= -(\rho+p)\,u^\mu + p\,u^\mu = -\rho\,u^\mu.\]

Dus \(u^\mu\) is inderdaad een eigenvector met eigenwaarde \(\lambda=-\rho\). (Let op het minteken: deze komt van de gekozen signatuur en het feit dat \(u_\nu u^\nu=-1\).)

Fysische interpretatie: de energie-dichtheid gemeten door een waarnemer met vier-snelheid \(u^\mu\) verschijnt als de (negatieve) eigenwaarde van \(T^\mu{}_\nu\) bij de tijdachtige eigenvector \(u^\mu\). In terminologie: \(T(u,u)=T_{\mu\nu}u^\mu u^\nu=\rho\).

2. Ruimtelijke kandidaten \(v^\mu\) orthogonaal aan \(u^\mu\) (\(u_\mu v^\mu=0\)):

\[T^\mu{}_{\nu}v^\nu = (\rho+p)\,u^\mu (u_\nu v^\nu) + p\,v^\mu = p\,v^\mu.\]

Dus elke ruimtelijke vector orthogonaal aan \(u^\mu\) is een eigenvector met eigenwaarde \(\lambda=p\). In het rustframe is deze druk-eigenwaarde drievoudig gedegenereerd en staat die voor de isotrope hoofdspanningen.

Kort samengevat voor het perfect fluïdum (met \((- + + +)\)):

* tijdachtige eigenvector: \(u^\mu\) met eigenwaarde \(\lambda=-\rho\),
* drie ruimtelijke eigenvectoren (orthogonaal aan \(u^\mu\)) met eigenwaarde \(\lambda=p\).

In een matrixvoorstelling in het rustframe is \(T^\mu{}_\nu\) diagonaal met elementen \((- \rho, p, p, p)\).

---

# 3. Algemenere gevallen: anisotroop materiaal, energieflux

Voor een anisotroop medium of viskeuze fluïdum is de ruimtelijke part niet meer \(p g^{ij}\) maar een spanningstensor \(\pi^{ij}\) (symmetrisch), en dan zijn de drie ruimtelijke eigenwaarden in het algemeen verschillend — dat zijn de hoofdspanningen \(p_1,p_2,p_3\). De tijdachtige eigenvector (als die bestaat en tijdachtig is) geeft nog steeds de natuurlijke “energie-waarnemer” (deeltjes-vier-snelheid), en de bijbehorende eigenwaarde is de energie-dichtheid in dat frame (met mogelijk extra bijdragen van flux-termen).

Als er niet-zero energieflux is in het rustframe van een gekozen \(u^\mu\) (bv. niet-perfecte fluïdum), dan is \(T^\mu{}_\nu\) niet in zo'n eenvoudige diagonaalvorm in dat frame: je moet dan het eigenprobleem oplossen om het natuurlijke rustframe (eigenbasis) te vinden.

[Professor Puntje]

Als ik het goed begrijp zijn die eigenwaarden en -vectoren dan in tegenstelling tot de tensoren waaruit ze worden afgeleid wel frame-afhankelijk...?

[wnvl1]

De eigenwaarden en de richtingen van de eigenvectoren zijn wel invariant. De componenten zijn uiteraard wel frame afhankelijk.

Let wel op. Niet alle tensors kunnen zomaar zo geïnterpreteerd worden; je hebt een type tensor nodig dat één vectorruimte naar zichzelf afbeeldt (bijvoorbeeld een tensor zoals in dit voorbeeld met één index boven en één index beneden).

[vijv]

Misschien er bij vermelden dat eigenvectoren een eigenschap zijn van vectortransformaties. Eigenvectoren zijn deze vectoren die bij een transformatie niet van richting veranderen, maar eventueel wel van grootte. Dit laatste is wat de eigenwaarde weergeeft.
Het is daarom dat we enkel bij een (1,1) tensor kunnen spreken over eigenvectoren.

ps: Dit om het over eens iets anders te hebben dan Collatz, hypercolaatz, priem rijen....

[Regor]

@vijv,

p.s; Dat ging ondermeer van U af.

[Professor Puntje]

ps: Dit om het over eens iets anders te hebben dan Collatz, hypercolaatz, priem rijen....

En die arme Fermat1637 maar op je antwoord wachten...

[Regor]

@PP,

Hij is wellicht niet arm, en / maar leedvermaak is geen mooie eigenschap, sorry.

[Professor Puntje]

Soms heb ik medelijden met Fermat1637 en soms denk ook dat die niet beter verdient dan om genegeerd te worden. Hoogmoed komt voor de val. En na een nachtje slapen denk ik dat vijv gelijk heeft, en het tijd is om Collatz achter ons te laten. Er gaat te veel tijd en moeite in zitten, en als amateurs hebben we daar ook niets te zoeken.

[Regor]

@PP ,

Off topic .