lorentz-translatie door uitrekken langs 45* as?

[tuander]

Ik zit even met een vraag: Kun je een Lorentz-translatie (als vorm van je grafiek) ook niet simpelweg doen door een grafiek uit te rekken (of in te krimpen) langs 1 van beide 45-graden richtingen? Hiermee verander je in feite de lichtsnelheid naar links, ten opzichte van de lichtsnelheid naar rechts, terwijl je ze allebei wel min of meer 'constant' houdt in de minkowski visie. namenlijk, de hoek van beide lichtstralen blijft onder 45 graden, VERANDERT NIET door een soortgelijke uitrekking.

Ik had een soort experiment tekening gemaakt, waarbij ik nog beide licht-richtingen uitgerek/ingekrompen had. Maar eigenlijk is dat overdaad toch? Een 45* richting uitrekken zou moeten voplstaan voor de vormverandering.

Een andere benadering is dat je van een vierkant (1 lichtseconde horizontaal en 1 seconde verticaal) op deze manier een wiebertje maakt. Door uiitrekken in de 45* richting. Oftewel, beide assen roteren dan om dezelfde hoek.

Klopt deze gedachtengang?

[Rotatie]

Jouw gevoel dat een vierkant in een ruit verandert is correct. Maar alleen uitrekken in één 45° richting is niet genoeg. Je moet ook de tijd- en ruimte-assen zelf 'meeschuiven' zodat beide lichtlijnen gelijk blijven.

[tuander]

Dat snap ik niet helemaal, deze assen, x=0 & t=0, roteren toch automatisch mee met het uitrekken? Ik rek de gehele tekening uit in 45* richting(en), met alles er in. Alleen de 'lichtlijnen'(zwarte lijnen) veranderen niet van positie door deze uitrekking

[Rotatie]

Ja, nu begrijp ik beter wat je bedoelt.
Je zegt: we rekken niet alleen de punten, maar de hele tekening, dus inclusief de assen, in een 45°-richting.

Dat is een belangrijk detail, want dan lijkt het inderdaad alsof de assen automatisch mee 'kantelen'. Maar er zit nog een subtiel punt in dat cruciaal is:

Als je de hele tekening uitrekt langs één 45°-richting:

- Alle punten op de tekening schuiven mee.

- De tijd- en ruimte-as worden langer in de richting van die rek, en lijken inderdaad te kantelen.

- De lichtlijnen (45°) blijven op hun plaats, want die hebben dezelfde projectie langs de uitrek-as en worden dus niet 'uitgerekt' ten opzichte van elkaar.

Dit voelt heel Lorentz-achtig, en dat is waarschijnlijk waarom je intuïtie zegt: “hé, dit is toch gewoon een Lorentz-boost?”

Een Lorentz-transformatie is echter geen gewone rek maar een shear + rescaling die de Minkowski-metriek bewaart.
Belangrijkste verschil:

- Lorentz-transformatie: de eenheidsafstand langs de tijd-as en de ruimte-as veranderen op zo’n manier dat de Minkowski-interval
exact gelijk blijft.

- Eenzijdige 45°-rek: verandert wel degelijk de 'metriek' – de verhouding tussen tijd- en ruimte-intervallen verandert niet precies zoals
𝛾-factor het voorschrijft.

Met andere woorden: je krijgt wel een nieuwe set scheve assen, maar de schaal van de nieuwe tijdseenheden en ruimte-eenheden klopt niet precies met de wiskunde van de Lorentz-transformatie.

Een simpele check:
Neem een punt dat in het oorspronkelijke stelsel op
𝑥 = 𝑣𝑡 ligt (de wereldlijn van een bewegend object).

In een echte Lorentz-transformatie: deze wordt een rechte lijn door de oorsprong in het nieuwe stelsel (met nieuwe snelheid 𝑣′).

Na 45°-rek: diezelfde lijn heeft in het nieuwe diagram meestal niet meer de juiste helling die overeenkomt met de snelheid
𝑣 volgens speciale relativiteit.

Dus:

Je hebt de juiste vorm van de assen, maar niet de juiste schaalverhoudingen voor tijd en ruimte.

Jouw beeld van een vierkant → ruit klopt nog steeds, maar bij een Lorentz-transformatie is het een hyperbolische ruit:
de verhouding tussen diagonalen verandert niet willekeurig, maar precies volgens de Lorentz-factor 𝛾.

[tuander]

----

[tuander]

Dank voor het antwoord. Het deel van het antwoord waarin u zegt dat het uitrekken niet tot de juiste schaalverhoudingen leidt, kan ik wel volgen, denk ik. De uitgerekte vorm heeft misschien wel de juiste vorm, maar niet de juiste afmetingen.

Het gedeelte wat ik niet snap is het deel waarin u zegt dat de ruiten (en ook het vierkant is in dit verhaal een van de ruiten) hyperbolisch van aard zouden zijn. Een ruit heeft twee zijkanten. Een zijkant die door oorsprong O loopt, vormt een wereldlijn van een inertiaalwaarnemer. Op deze wereldlijn kan men een klok plaatsen. Deze klok tikt dan in een regelmatig tempo, met gelijke tussenpozen. Deze schaalverdeling is lineair, en niet hyperbolisch

[tuander]

nog een opmerking over de check van de hoeken van de wereldlijnen. Juist die hoeken kon ik vrij aardig kloppend krijgen. Elke lijn uit de onderste tekening is in de bovenste tekening vrij exact terecht gekomen op de positie van zijn rechter buurman in de onderste tekening. De lijnen hebben 'stuivertje gewisseld'.

Waar ik zelf mijn vraagtekens over heb is de lengtes van de bewegende objecten (= de breedte van de grijze banden) wel goed meetransleren. En ook over de klokafstanden zit ik een beetje twijfelend te kijken, of de punten wle helemaal goed terecht komen. Dat is dus inderdaad meer de schaalverdeling, dan de richting van de hoeken

[Gast]

Er zijn allerlei interactive Spacetime Diagrams online om bijvoorbeeld Lorentransformaties mee te maken, zoals deze:

https://www.geogebra.org/m/s7xsubde

Waarbjj je vanalles aan en uit kunt zetten. Is vrij uitgebreid wat dat betreft, maar weer beperkt in allerlei andere dingen (zo snel ik het even heb kunnen zien).

Misschien is bijvoorbeeld deze beter met eerst het doornemen van "examples en exercises" of de tutorial:

https://www.trell.org/div/minkowski.html

Je hebt veel verschillende.

Maar, kennelijk heb je je eigen software er al voor?


Iig, je moet natuurlijk wel zo goed mogelijk weten wat een Minkowski (ruimtetijd) diagram überhaupt allemaal inhoudt en uiteraard wat een Lorentztransformatie is, wat hier mooi uitgelegd wordt:

https://tikz.net/relativity_minkowski_diagram/

Dat zal je vragen allemaal beantwoorden.
Door het enkel wat door te bladeren zul je vast veel bekends tegenkomen, zoals het "uitrekken langs 1 van beide 45-graden richtingen"; wat de wereldlijnen van het licht zijn en de lichtkegel vormt. (In werkelijkheid een hyperkegel, vanwege 3 ruimtelijke richtingen, maar wat onmogelijk is om af te beelden noch gemakkelijk is om iets bij voor te stellen, maar dat daar gelaten.)


Afijn om eindelijk op je laatste vraag te reageren:

De licht-wereldlijnen liggen in Minkowski-diagrammen altijd exact op 45°, en dat komt door de hyperbolische geometrie van de Minkowski-ruimte. Dat zie je ook terug in de formule voor het ruimtetijdinterval:

\(\Delta s^2 = c^2\Delta t^2 - \Delta x^2\) of \(\Delta s^2 = -c^2\Delta t^2 + \Delta x^2\) (afhankelijk van de gekozen signatuur).

Het minteken maakt dit wezenlijk anders dan Euclidische meetkunde: je hebt geen cirkels van constante afstand, maar hyperbolen van constante interval.

In Euclidische ruimte geven cirkels \(x^2 + y^2 = R^2\) de punten die allemaal even ver van de oorsprong liggen. In Minkowski-ruimte worden dat geen cirkels maar hyperbolen: de krommen waarbij \(c^2t^2 - x^2 = \text{constant}\).

Oftewel de hyperbolen verbinden alle gebeurtenissen die dezelfde eigen­tijd \(\tau\) hebben voor een bewegende klok. Dáár zit dus de link met de “hyperbolische rotatie” van een Lorentz-transformatie (dit kun je mooi zien in die eerste online interactieve Minkowski diagram, door de snelheid van een object te veranderen).

De ruiten die je tekent (vierkant → ruit) zijn gewoon visuele hulplijnen. Wat écht hyperbolisch is, zijn dus die eigentijd-hyperbolen. Dat kun je mooi zien in interactieve Minkowski-diagrammen: als je de snelheid van een object verandert, schuift de wereldlijn, maar de hyperbolen blijven precies dezelfde eigentijd aangeven.

Nou ja, hopelijk kun je hier iets mee.

PS.

Zie eventueel ook het legitieme filmpje hier:

https://www.pbs.org/video/the-geometry- ... ty-sesxql/