Groepen , abstractie van symmetrie of niet

[vijv]

Groepen zijn een basisconcept in de abstracte algebra en heel wat andere structuren (ring, velden (lichamen in Nederland) vectorvelden) zijn groepen met extra axioma's.
In de literatuur wordt heel dikwijls gesteld dat groepen een abstractie zijn van symmetrieën. Maar is dat wel zo?
Is de groep niet eerder de abstractie van acties met de eigenschap dat ze kunnen worden teruggedraaid? En is symmetrie hier een voorbeeld van.
Als bijvraag in deze discussie : Waarom is associativiteit zo belangrijk in de definitie van een groep, en meer algemeen in de wiskunde?

[Bart23]

Elke (abstracte) groep is isomorf met een deelgroep van de de groep van permutaties van de elementen van de gegeven groep. In die zin gaat een verzameling over in zichzelf, wat het essentiële idee is van een symmetrie
. Zonder assocaitiviteit kan je echt niet veel doen, dus dan kan je niet echt een interessante theorie krijgen.

[vijv]

Elke (abstracte) groep is isomorf met een deelgroep van de de groep van permutaties van de elementen van de gegeven groep. In die zin gaat een verzameling over in zichzelf, wat het essentiële idee is van een symmetrie

Dus alles wat beschreven kan worden door een groep bezit een symmetrie?

. Zonder assocaitiviteit kan je echt niet veel doen, dus dan kan je niet echt een interessante theorie krijgen.

Dat is nu juist mijn vraag, waarom geeft dit geen interessante theorie. Wat maakt associativiteit zo fundamenteel?

[Bart23]

In abstracte zin kan je dat idd zeggen. Maar het concept is van concrete symmetrieën (van oplossingen van veeltermen - Galois) gaandeweg geëvolueerd.

Associativiteit is vanzelf fundamenteel omdat je niet zonder kan.

[vijv]

In abstracte zin kan je dat idd zeggen. Maar het concept is van concrete symmetrieën (van oplossingen van veeltermen - Galois) gaandeweg geëvolueerd.

Voor mij gaat dit over de abstracte zin. Vanwaar het concept van groepen oorspronkelijk komt is minder belangrijk in deze discussie

Associativiteit is vanzelf fundamenteel omdat je niet zonder kan.

De vraag maakt wat maakt het zo fundamenteel

[wnvl1]

De belangrijkste symmetrieen in de fundamentele natuurkunde zoals de Poincare groep die de symmetrieen van ruimtetijd beschrijft en de interne symmetriegroepen uit het standaardmodel zijn nu eenmaal allemaal associatief. Gelukkig maar, want dat zorgt voor een veel mooiere theorie.

[wnvl1]

In de literatuur wordt heel dikwijls gesteld dat groepen een abstractie zijn van symmetrieën. Maar is dat wel zo?
Is de groep niet eerder de abstractie van acties met de eigenschap dat ze kunnen worden teruggedraaid? En is symmetrie hier een

Symmetrie verwijst naar een eigenschap van een systeem die onveranderd blijft onder bepaalde transformaties. Hiervoor wordt wiskundige gebruiik gemaakt van het concept van een groep. Een groep is een verzameling van transformaties waarop een binaire operatie is gedefinieerd die voldoet aan vier basisvoorwaarden: associativiteit, het bestaan van een identiteitselement, het bestaan van inverse elementen, en de sluitingseigenschap. Er zijn structuren zoals het vectorieel product die niet niet associatief zijn. Ik vroeg aan chat of er symmetrieen zijn die niet associatief zijn, ze sprak van quasigroepen en octonionen. In snaartheorie zou er soms van gebruik gemaakt worden, maar daar ken ik niets van.

[vijv]

Wnvl1,

Bedankt voor je reactie. Misschien om misverstanden te vermijden. Ik ben bekend met groepentheorie. maar wil dieper ingaan op het waarom van de axioma's sluiting, eenheidselementen en inversie is makkelijk te vatten maar bij associativiteit heb ik een stemmetje in mijn achterhoofd dat zegt dat ik hier de diepere betekenis niet helemaal vat. Vandaar mijn vraag.

[flappelap]

Wnvl1,

Bedankt voor je reactie. Misschien om misverstanden te vermijden. Ik ben bekend met groepentheorie. maar wil dieper ingaan op het waarom van de axioma's sluiting, eenheidselementen en inversie is makkelijk te vatten maar bij associativiteit heb ik een stemmetje in mijn achterhoofd dat zegt dat ik hier de diepere betekenis niet helemaal vat. Vandaar mijn vraag.

Ik zie groepentheorie ook als een abstractie van het uitvoeren van transformaties. En dan is associativiteit heel natuurlijk, als je b.v. naar rotaties kijkt.

Maar misschien dat er ook toepassingen zijn waarbij je die associativiteit laat varen. Dat gebeurt immers ook bij b.v. uitproducten tussen vectoren. Voor groepen ben ik echter nooit zoiets tegengekomen wat handig is in de natuurkunde (waar ik groepentheorie voor heb bestudeerd).

[wnvl1]

Ik denk dat je de vraag dan ook niet kan beantwoorden. De symmetrieën van de natuur worden beschreven door groepsstructuren die associatief zijn. Je kan dat alleen maar vaststellen. Dat is te fundamenteel om er nog een diepere verklaring voor te vinden.
Chatgpt kan wel een paar exotische 'symmetrieën' opsommen die niet associatief zijn, maar dat zijn zaken waar de meeste leden op dit forum (zoals ik) nog nooit van gehoord zullen hebben.

[vijv]

Eentje van chatgtp om over na te denken :

"Associativiteit = topologische invariantie van samenstelling"

[wnvl1]

Dat gaat dan over Lie groepen veronderstel ik?

[flappelap]

Er is overigens de laatste jaren wel wat te doen om zogenaamde "gegeneraliseerde symmetrieën", zie b.v.

https://www.quantamagazine.org/a-new-ki ... -20230418/

Je moet me de details niet vragen, maar blijkbaar zijn er aanwijzingen dat de huidige notie van symmetrie wel eens te beperkt zou kunnen zijn.

[vijv]

Dat gaat dan over Lie groepen veronderstel ik?

Neen over functies op topologische ruimtes

[vijv]

Er is overigens de laatste jaren wel wat te doen om zogenaamde "gegeneraliseerde symmetrieën", zie b.v.

https://www.quantamagazine.org/a-new-ki ... -20230418/

Je moet me de details niet vragen, maar blijkbaar zijn er aanwijzingen dat de huidige notie van symmetrie wel eens te beperkt zou kunnen zijn.

Interessant.
Wat ik er van begrepen heb is dat de symmetrieen waar we vertrouwd mee zijn een groepsstructuur hebben, dit wil zeggen dat ze associatief zijn, een eenheidselement en invers element hebben.
Blijkbaar zijn er ook nog symmetrien die niet associatief zijn, of in een ander geval geen inverse hebben.