Lotto en euro millions en het theorema van Bayes.

[Regor]

Laat mij mij beperken tot de lotto.
Er zijn 45 cijfers / getallen.
De kans dat het getal "x" getrokken wordt is 1/45
Alle cijfers / getallen hebben dezelfde kans om getrokken te worden namelijk 1/45

Als men vaststelt door bij heel veel trekkingen (stel 450 keer ) dat vb het cijfer "y" (nog) niet getrokken werd .......
vergroot dan de kans dat "y" de volgende keer getrokken wordt ?

Speelt de voorwaardelijke kans (theorema van Bayes) hier een rol ..... of maak ik een beginnersfout ?

[HansH]

De kans dat het getal "x" getrokken wordt is 1/45

Alle cijfers / getallen hebben dezelfde kans om getrokken te worden namelijk 1/45

Als men vaststelt door bij heel veel trekkingen (stel 450 keer ) dat vb het cijfer "y" (nog) niet getrokken werd .......
vergroot dan de kans dat "y" de volgende keer getrokken wordt ?

Speelt de voorwaardelijke kans (theorema van Bayes) hier een rol ..... of maak ik een beginnersfout ?

als de kans op een getal steeds 1/45 is dan heb je toch zelf al het antwoord gegeven?
vergroot dan de kans dat "y" de volgende keer getrokken wordt ? nee dus

[Regor]

@HansH,

Te kort door de bocht ..... denk ik.
Lees de vraag nog eens goed (sorry)

De kans dat getal "y" getrokken wordt is 1/45 ......maar er is ook een statistische wet in de kans berekening die zegt dat na heel veel (oneindig) veel trekkingen .... alle cijfers / getallen evenveel keer moeten getrokken worden.
Dus als na bv 450 het cijfer / getal "y" nog niet getrokken werd ...... is volgens mij de voorwaardelijke kans dat "y" getrokken wordt ...... groter dan 1/45

Speelt het theorema van Bayes hier geen / een rol ?

[HansH]

@HansH,

Te kort door de bocht ..... denk ik.
Lees de vraag nog eens goed (sorry)

De kans dat getal "y" getrokken wordt is 1/45 ......maar er is ook een statistische wet in de kans berekening die zegt dat na heel veel (oneindig) veel trekkingen .... alle cijfers / getallen evenveel keer moeten getrokken worden.
Dus als na bv 450 het cijfer / getal "y" nog niet getrokken werd ...... is volgens mij de voorwaardelijke kans dat "y" getrokken wordt ...... groter dan 1/45

Er is geen mechanisme dat de kans groter maakt. dat het statistisch uitmiddelt komt puur door de grote aantallen. stel dat je met een dobbelsteen 10 x achter elkaar 6 gooit. het gemiddelde over die 10 x is dan 6 terwijl je (1+2+3+4+5+6)/6=3.5 zou verwachten. nu gooi je nog 10000 keer met wel een gemiddelde van 3.5. dus dan is het gemiddelde over die 10006 worpen dan (6 x 6+10000 x 3.5)/10006=3.5014 dus al bijna 3.5

[Regor]

@HansH,

Als de populatie "P" zeer groot (oneindig) is / zou zijn .....moet elk cijfer / getal toch "P/45" keer voorkomen !
Dus als één cijfer / getal na een zeer groot aantal trekkingen nog niet voorgekomen is .... stijgt de kans toch dat het plots getrokken wordt ?
Ok, wiskundig klopt wat je schrijft, maar wat doe je dan met mijn bemerking ?

[HansH]

Wat je zegt gaat over gemiddelden. als je bv 45 miljoen keer gooit dan heb je gemiddeld 1 miljoen keer een bepaald cijfer gegooid, bv cijfer 10. maar er is ook een kans dat je bv maar 900000 keer een 10 gooit of 1.1miljoen keer. maar zoals gezegd is er geen mechanisme wat kansen vergroot op cijfers die nog niet getrokken zijn. of je zou de getrokken getallen uit het spel moeten halen.

neem bv een dobbelsteen. de kans dat je 6 gooit is 1/6. de kans dat je 10 x achter elkaar een 6 gooit is 1/6^10=1 op 60 miljoen. de kans dat je daarna weer een 6 gooit is nog steeds 1/6 dus de kans dat je 11 keer achter elkaar een 6 gooit is 1 op 60 miljoen x 1/6= 1 op 363 miljoen.

[Regor]

@HansH,

Dat van de dobbelstenen hoefde je niet steeds te herhalen hoor .

Spijtig dat het dan aankomt op "toeval ".... in plaats van op wiskundige "kans"
En toch durft niemand de getrokken cijfers / getallen van de vorige keer invullen !!! ........alhoewel de kans even groot is .... net als de kans voor 1,2,3,4,5,6 ..... en we durven dan nog beweren dat de mens een consequent wezen is !

[HansH]

Spijtig dat het dan aankomt op "toeval ".... in plaats van op wiskundige "kans"

Is dat niet hetzelfde?

[flappelap]

Je kunt met Bayes nagaan dat de voorwaardelijke kans op een uitkomst, gegeven vorige uitkomsten, gelijk is aan de a priori winkans. Zie ook

https://en.wikipedia.org/wiki/Gambler%27s_fallacy

[Regor]

@HansH en PP

Hierbij mijn nieuwe theorie gebaseerd op het feit dat na zeer veel (oneindig) veel trekkingen elk bepaald cijfer / getal "y" van de 45 mogelijke ..... theoretisch even veel keer moet voorkomen.

Bij de lotto met 45 cijfers / getallen.
Kans voor "y" bij 1 trekking = 1/45
Kans voor "y" bij 45 trekkingen = 1
Kans voor "y" na 450 trekkingen waarbij "y" nog niet getrokken werd = 1 x log 450 met grondtal 45 = 1,605
Kans voor "y" na 4.500 trekkingen waarbij "y" nog niet getrokken werd = 1 x log 4500 met grondtal 45 = 2,2098
Kans voor "y" na 4.500.000 ....... 4,0244

Houd dat steek ? ..... wellicht niet !

[HansH]

nee, daar klopt eea niet en eea is onduidelijk wat je bedoelt.
wat bedoel je met 'Kans voor "y" bij 45 trekkingen = 1' ? dat je in 45 trekkingen minimaal 1 x het getal 'y hebt getrokken' ?
na 450 trekkingen waarbij "y" nog niet getrokken werd is blijkbaar een feit na 450 trekkingen. daarna is de kans dat je 'y' trekt gewoon weer 1/45 idem voor 4500 of 4500.000. net zoals de kans ook nog steeds 1/45 is als ik 3 x om de wereld rijdt of 10x

[Regor]

@HansH,

Wat doe je dan met het feit dat na zeer veel (oneindig) trekkingen elk cijfer / getal evenveel keer moet getrokken zijn ?

[flappelap]

Kans voor "y" bij 1 trekking = 1/45
Kans voor "y" bij 45 trekkingen = 1

Dat betekent dat je gegarandeerd bij de 46e trekking zou winnen.

Of, in een iets andere setting: met jouw redenatie zou je, als je na 6 keer gooien geen X ogen hebt gegooid, gegarandeerd X ogen moeten gooien bij de 7e worp. De kansen op alle andere aantallen ogen zouden dan ook 0 moeten worden.

[flappelap]

@HansH,

Wat doe je dan met het feit dat na zeer veel (oneindig) trekkingen elk cijfer / getal evenveel keer moet getrokken zijn ?

Je redenatie is de beruchte gokkersmisvatting (https://en.wikipedia.org/wiki/Gambler%27s_fallacy).

Stel dat je 1000 keer met een muntje gooit. Dan verwacht je elke uitkomst (kop en munt) ongeveer 500 keer. De wet van de grote aantallen (want dat brengt jou in de war) zegt dan dat wanneer je dit experiment heel vaak zou herhalen en daarbij elke keer het aantal kop en munt zou noteren, dat het gemiddelde van al deze pogingen het daadwerkelijke gemiddelde (ca. 500) gaat herhalen. Dus in die zin is er een "kosmische uitmiddeling". Maar dat gaat over een groot aantal experimenten. Binnen 1 zo'n experiment is er geen sprake van een dergelijke uitmiddeling: de uitkomsten zijn onafhankelijk van elkaar en hebben geen geheugen. Dus als jij 999 keer 'Munt' hebt gegooid, dan kun je met de wet van de grote aantallen niet beredeneren dat de kans op 'Kop' nu opeens drastisch moet zijn toegenomen omdat je anders niet meer aan de wet van de grote aantallen zou voldoen. Die gaat immers over een grote verzameling experimenten.

Je hebt overigens ook nog de omgekeerde gokkersmisvatting: met jouw redenatie zou je ook mogen concluderen dat als jij iemand bijvoorbeeld met 10 dobbelstenen 10 keer dezelfde uitkomst ziet gooien (in 1 worp), deze persoon waarschijnlijk al heel vaak heeft gegooid om zo'n onwaarschijnlijke uitkomst te krijgen. Ook dat is geen geldige redenatie, wat je ook weer met de stelling van Bayes kunt aantonen. Een onwaarschijnlijke uitkomst laat de kans op een groot aantal pogingen dus niet toenemen.

Mocht je dit interessant vinden: ik behandel dit soort situaties ook in mijn boek "Goddelijke patronen", want de gokkersmisvatting is een vorm van doorgeschoten patroonherkenning (apofenie).

https://www.spectrumboeken.nl/producten ... 9000395071

[Regor]

@Flappelap,

Ik lees straks uw lange post, nu eerst even dit.

Vergeet de eerste twee uitdrukkingen:
"Kans voor "y" bij 1 trekking = 1/45"
"Kans voor "y" bij 45 trekkingen = 1"

Wat betreft de volgende drie uitdrukkingen.
"Kans voor "y" na 450 trekkingen waarbij "y" nog niet getrokken werd = 1 x log 450 met grondtal 45 = 1,605"
"Kans voor "y" na 4.500 trekkingen waarbij "y" nog niet getrokken werd = 1 x log 4500 met grondtal 45 = 2,2098"
"Kans voor "y" na 4.500.000 ....... 4,0244"

Daarmee bedoel ik gewoon dat ik (verkeerdelijk ?) denk dat als bv "y" na 4.500.000 keer niet getrokken is ..... de kans 4,0244 groter is dan normaal dat "y" getrokken wordt.