cirkels in vierkant

[Rik Speybrouck]

ziet er iemand een oplossing om op basis van de gegevens in bijlage de straal van de kleine cirkel te berekenen

[RedCat]

Leg het vierkant in een assenstelsel met het punt rechtsonder = B = (4, 0)
Definieer:
lijn \(l: 2x + y = 0\)
middelpunt blauwe cirkel = \(M = (0, Y)\)
straal blauwe cirkel = \(R\)
middelpunt rode cirkel = \(N\)
straal rode cirkel = \(r\)

Dan is:
\(d(M, l) = R = \frac{Y}{\sqrt{5}}\)
(zie bv. https://en.wikipedia.org/wiki/Distance_ ... _to_a_line)
en
\(AB = 8 = R + BM = R + \sqrt{4^2 + Y^2}\)
dus
\(\frac{Y}{\sqrt{5}} + \sqrt{4^2 + Y^2} = 8\)
waardoor
\(Y = 2\sqrt{5}\)
en
\(R = 2\)

Gebruik dan de gelijkvormigheid van de (rechthoekige) driehoeken MCO en NDO:
\(\frac{OM}{MC}=\frac{ON}{ND}\)
ofwel:
\(\frac{Y}{R} = \frac{Y-R-r}{r}\)

\(Yr = YR-R^2-rR\)

\((Y+R)r = YR-R^2\)

\(r = \frac{YR-R^2}{Y+R}\)

invullen: \(r = 3-\sqrt{5}\)

[RedCat]

Alternatief zonder de afstandsformule:

\(\angle FEO = \angle COM\)

dus

\(\frac{FO}{EO} = \frac{CM}{MO}\)

ofwel

\(\frac{4}{\sqrt{80}} = \frac{R}{Y}\)

ofwel

\(R = \frac{Y}{\sqrt{5}}\)

en verder als hierboven.

[ukster]

Deze is net iets simpeler!
Twee cirkels, een vierkant en een kwart cirkel, zijn ingeschreven in een kwart cirkel met straal 1.
Bepaal de straal van de rode cirkel.

1 777 keer bekeken

[RedCat]

... Bepaal de straal van de rode cirkel ...

\(r_{rood} = 0.0637486875121543961164957699218777512303920702311138759936813114925...\)

sctfilling 487 keer bekeken

En zo doorgaand met cirkels \(C_i\) met straal \(r_i\):

Code: Selecteer alles

 r[1]  = 0.107206358681917884414824
 r[2]  = 0.063748687512154396116496
 r[3]  = 0.032821511636756146746755
 r[4]  = 0.015670122563985885102203
 r[5]  = 0.007214141551854388718512
 r[6]  = 0.003265777217972012640372
 r[7]  = 0.001467139761780204657812
 r[8]  = 0.000656847751170706173659
 r[9]  = 0.000293622807019700485942
 r[10] = 0.000131164440584095479382
 r[11] = 0.000058574551480610704541
 r[12] = 0.000026154247424269826999
 r[13] = 0.000011677472938534505691
 r[14] = 0.000005213671069071438316
 r[15] = 0.000002327732557563864794
 r[16] = 0.000001039250316156727364
 r[17] = 0.000000463987405298168625
 r[18] = 0.000000207153247753330111
 r[19] = 0.000000092486232892226818
 r[20] = 0.000000041291659743219714
 r[21] = 0.000000018435187011819875
 r[22] = 0.000000008230623510745206
 r[23] = 0.000000003674666388018384
 r[24] = 0.000000001640601459821044
 r[25] = 0.000000000732467346803569
 r[26] = 0.000000000327019344034464
 r[27] = 0.000000000146001936820081
 r[28] = 0.000000000065184417792960
 r[29] = 0.000000000029102410659074
 r[30] = 0.000000000012993140612251
 r[31] = 0.000000000005800952537653
 r[32] = 0.000000000002589908887149
 r[33] = 0.000000000001156297694242
 r[34] = 0.000000000000516243781524
 r[35] = 0.000000000000230483588516
 r[36] = 0.000000000000102902323430
 r[37] = 0.000000000000045942048350
 r[38] = 0.000000000000020511410590
 r[39] = 0.000000000000009157579592
 r[40] = 0.000000000000004088517639
 r[41] = 0.000000000000001825370592
 r[42] = 0.000000000000000814959869
 r[43] = 0.000000000000000363849177
 r[44] = 0.000000000000000162445083
 r[45] = 0.000000000000000072525669
 r[46] = 0.000000000000000032380005
 r[47] = 0.000000000000000014456464
 r[48] = 0.000000000000000006454272
 r[49] = 0.000000000000000002881592
 r[50] = 0.000000000000000001286523
 ...

[ukster]

Mooi...
ik neem aan dat je onderstaande werkwijze hebt toegepast?

cirkel 472 keer bekeken

[RedCat]

Ja: dit probleem is volledig op te lossen met herhaald toepassen van de stelling van Pythagoras.