Collatz Algebra?

[Professor Puntje]

Het Collatz virus heeft me weer te pakken. Er borrelen voortdurend nieuwe ideeën op. De meeste vallen bij even na zoeken of overdenken al snel weer af als ouwe koek of onwerkbaar. Maar sommige ideeën zijn zo vergezocht dat het mogelijk toch iets is. In de abstracte algebra komt men heel ver door van details te abstraheren, en algemene structuren te onderzoeken. Maar hoe doen we dat met het Collatz vermoeden? Het Collatz vermoeden is niet meer dan een algoritme waarvan we een zekere eigenschap proberen te achterhalen. Beschouw nu de verzameling van alle Collatz-achtige algoritmen en definieer daar bewerkingen op die weer nieuwe Collatz-achtige algoritmen opleveren. Zo heb je dan een algebraïsche structuur waar we wellicht nuttige dingen over kunnen bewijzen.

Of is ook dit al eerder geprobeerd?

[Professor Puntje]

Laat:

even(n) = 1 voor n = even
even(n) = 0 voor n = oneven

odd(n) = 0 voor n = even
odd(n) = 1 voor n = oneven

Dan hebben we voor het Collatz algoritme:

\( \mbox{Coll}(n) = \mbox{even}(n)\cdot \frac{n}{2} \,\, + \,\, \mbox{odd}(n) \cdot (3 n +1) \)

[Professor Puntje]

Er zijn vele manieren om Collatz-achtige algoritmes \( \mathfrak{C}^a_{b c} \) als generalisatie van het Collatz-algoritme \( \mbox{Coll} \) te definiëren, maar de meest voor de hand liggende definitie om eerst maar eens te proberen lijkt mij:

\( \mathfrak{C}^a_{b c} (n) = \mbox{even}(n)\cdot (\mbox{a} \cdot \frac{n}{2}) \,\, + \,\, \mbox{odd}(n) \cdot (\mbox{b} \cdot n + \mbox{c}) \)

Met a, b en c gehele getallen.

[Regor]

@PP,

Met alle respect,
Maar er zijn oneindig veel algoritmen mogelijk.
Eentje ervan is die van Collatz. ....... en is blijkbaar al zo moeilijk dat de toepassing ervan nog niet opgelost is.
Ik zie niet in hoe een overkoepelende "algoritmen theorie" daartoe kan bijdragen.
Bestaat er anti Collatz medicatie ?

[Professor Puntje]

Soms helpt het de zaken van een hoger wat abstracter standpunt te bekijken, dan zie je soms patronen die je ontgaan als je er met je neus bovenop zit.

Anti Collatz medicatie ken ik niet, het lijkt me eerder een psychische aandoening. Een soort van bezetenheid.

[Professor Puntje]

Een optelling voor de Collatz-achtige algoritmes is probleemloos te definiëren, maar wat doen met de vermenigvuldiging? Of met andere bewerkingen?

[WillemB]

Als je zoekt naar structuren, het eenvoudigste om mee te beginnen, om verder mee te gaan,
Als je willekeurig natuurlijk getal neemt, en daar iedere keer 1 van aftrekt, kom je ook op 1 uit.
Is niet flauw bedoelt, maar als voorbeeld van een reeks.

Verder is me opgevallen, dat als je een rij onderzoekt, en consequent C₀, blijft handhaven
in de berekeningen van de Collatz reeks er een soort algemene formule ontstaat als het de 1 bereikt.

waanneer 1 bereikt is, krijg je: 2^a = 3^b x C₀ + R_x

waarbij a = aantal maal dat door 2 is gedeelt, en b = aantal maal dat x3 heeft plaatsgevonden
en C₀ het oorspronkelijke getal is, en R_x een restgetal is.

Tot nu toe heb voor het restgetal alleen gevonden dat het altijd een aantal maal C₀ is plus 1 of 2

Blijft wel leuk.

[Professor Puntje]

De structuur waar ik naar zoek is de verzameling van alle Collatz-achtige algoritmes plus een optelling en nog enkele interessante andere bewerkingen op de Collatz-achtige algoritmes. Hoe dat laatste moet zodanig dat de uitkomst weer een Collatz-achtige algoritme is zie ik nog even niet.

Ik denk niet dat je er door onderzoek van de Collatz-rijen zelf komt want daar is door anderen al onnoemelijk veel werk in gestoken is. Als er een oplossing is zal die waarschijnlijk op een onorthodoxe aanpak berusten.

[Professor Puntje]

Niet erg spectaculair maar het meest logisch lijken mij de volgende definities voor de optelling en vermenigvuldiging van Collatz-achtige algoritmes:

\( [ \mathfrak{C}^a_{b c} + \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ](n) = [ \mathfrak{C}^{a+a'}_{b+b' \, c+c'} ] (n) \)

\( [ \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ](n) = [ \mathfrak{C}^{a \cdot a'}_{b \cdot b' \, c \cdot c'} ](n) \)

Om niet steeds de omslachtige uitdrukking "Collatz-achtige algoritmes" te hoeven gebruiken zal ik daar nu een afkorting voor invoeren. We zullen ook vaak spreken van collials (enkelvoud: collial) als portmanteau van Collatz-like algorithms.

[vijv]

\( \mathfrak{C}^2_{1, 0} \)

is het neutraal element van de optelling

[Professor Puntje]

niet juist

[Professor Puntje]

Mijn vorige berichtje kan weg, heb het verprutst. Het moet even overnieuw:

Voor een neutraal element voor de optelling \( \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} \) moeten we voor alle \( \mathfrak{C}^a_{b c} \) en n hebben dat:

\( [ \mathfrak{C}^a_{b c} + \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ](n) = [ \mathfrak{C}^a_{b \, c} ] (n) \)

\( [ \mathfrak{C}^{a+a'}_{b+b' \, c+c'} ] (n) = [ \mathfrak{C}^a_{b \, c} ] (n) \)

[Professor Puntje]

Voor een neutraal element voor de optelling \( \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} \) moeten we voor alle \( \mathfrak{C}^a_{b c} \) en n hebben dat:

\( [ \mathfrak{C}^a_{b c} + \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ](n) = [ \mathfrak{C}^a_{b \, c} ] (n) \)

\( [ \mathfrak{C}^{a+a'}_{b+b' \, c+c'} ] (n) = [ \mathfrak{C}^a_{b \, c} ] (n) \)

\( \mbox{even}(n)\cdot ((\mbox{a}+\mbox{a}') \cdot \frac{n}{2}) \,\, + \,\, \mbox{odd}(n) \cdot ((\mbox{b}+\mbox{b}') \cdot n + (\mbox{c}+\mbox{c}')) = \mbox{even}(n)\cdot (\mbox{a} \cdot \frac{n}{2}) \,\, + \,\, \mbox{odd}(n) \cdot (\mbox{b} \cdot n + \mbox{c}) \)

Dus voor alle even n moet:

\( (\mbox{a}+\mbox{a}') \cdot \frac{n}{2} = \mbox{a} \cdot \frac{n}{2} \)

\( \mbox{a}+\mbox{a}' = \mbox{a} \)

\( \mbox{a}' = 0 \)

En voor alle oneven n moet:

\( (\mbox{b}+\mbox{b}') \cdot n + (\mbox{c}+\mbox{c}') = \mbox{b} \cdot n + \mbox{c} \)

\( \mbox{b}' \cdot n + \mbox{c}' = 0 \)

\( \mbox{b}' = \mbox{c}' = 0 \)

Dus het neutrale element voor de optelling is: \( \mathfrak{C}^0_{0 \, 0} \)

[Professor Puntje]

Voor een neutraal element \( \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} \) voor de vermenigvuldiging moeten we voor alle \( \mathfrak{C}^a_{b c} \) en n hebben dat:

\( [ \mathfrak{C}^a_{b c} \cdot \mathfrak{C}^{a'}_{b' c'} ](n) = [ \mathfrak{C}^a_{b \, c} ] (n) \)

\( [ \mathfrak{C}^{a \cdot a'}_{b \cdot b' \, c \cdot c'} ] (n) = [ \mathfrak{C}^a_{b \, c} ] (n) \)

\( \mbox{even}(n)\cdot ((\mbox{a} \cdot \mbox{a}') \cdot \frac{n}{2}) \,\, + \,\, \mbox{odd}(n) \cdot ((\mbox{b} \cdot \mbox{b}') \cdot n + (\mbox{c} \cdot \mbox{c}')) = \mbox{even}(n)\cdot (\mbox{a} \cdot \frac{n}{2}) \,\, + \,\, \mbox{odd}(n) \cdot (\mbox{b} \cdot n + \mbox{c}) \)

Dus voor alle \( \mathfrak{C}^a_{b c} \) en even n moet:

\( (\mbox{a} \cdot \mbox{a}') \cdot \frac{n}{2} = \mbox{a} \cdot \frac{n}{2} \)

\( \mbox{a} \cdot \mbox{a}' = \mbox{a} \)

\( \mbox{a}' = 1 \)

En voor alle \( \mathfrak{C}^a_{b c} \) en oneven n moet:

\( (\mbox{b} \cdot \mbox{b}') \cdot n + (\mbox{c} \cdot \mbox{c}') = \mbox{b} \cdot n + \mbox{c} \)

\( \mbox{b} \cdot (\mbox{b}' - 1) \cdot n + \mbox{c} \cdot (\mbox{c}' - 1) = 0 \)

\( \mbox{b} \cdot (\mbox{b}' - 1) = \mbox{c} \cdot (\mbox{c}' - 1) = 0 \)

\( \mbox{b}' - 1 = \mbox{c}' - 1 = 0 \)

\( \mbox{b}' = \mbox{c}' = 1 \)

Dus het neutrale element voor de vermenigvuldiging is: \( \mathfrak{C}^1_{1 \, 1} \)

[Professor Puntje]

Het neutrale element voor de optelling zullen we voor het gemak vaak als een vette 0 schrijven, en het neutrale element voor de vermenigvuldiging als een vette 1. Oftewel:

\( \mathbf{0} = \mathfrak{C}^0_{0 \, 0} \)

\( \mathbf{1} = \mathfrak{C}^1_{1 \, 1} \)

Zodat voor alle collials \( \mathfrak{C}^a_{b \, c} \) geldt dat:

\( \mathfrak{C}^a_{b \, c} + \mathbf{0} = \mathfrak{C}^a_{b \, c} \)

\( \mathfrak{C}^a_{b \, c} \cdot \mathbf{1} = \mathfrak{C}^a_{b \, c} \)

(Zoals we in de eerder gegeven bewijzen zagen zijn de neutrale elementen voor de optelling en vermenigvuldiging ook uniek. Er is maar een collial die als neutraal element voor de optelling voldoet, en er is ook maar een collial die als neutraal element voor de vermenigvuldiging voldoet.)