Scalairen, vectoren en tensoren

[vijv]

Naar aanleiding van een ander topic over tensoren, ben ik mij beginnen te verdiepen in dit onderwerp. Om mijn gedachten te ordenen ben ik hierover een tekst beginnen schrijven die ik hier met jullie wil delen.
Graag had ik graag jullie commentaren en suggesties op dit werkstuk gekregen.
Om het behapbaar te houden ga ik de tekst in delen hier posten. Ik start vandaag met de inleiding en deel 1

[vijv]

Inleiding

In de algemene relativiteitstheorie (ART) spelen tensoren de hoofdrol in het mathematische model van deze theorie. Toch bestaat er veel verwarring over wat tensoren precies zijn, hoe ze verschillen van vectoren en scalairen, en waarom ze zo'n centrale rol spelen in de fysica.
In de literatuur worden tensoren op uiteenlopende manieren gedefinieerd. Soms zegt men dat een tensor “datgene is wat transformeert als een tensor”, wat cirkelvormig is en weinig inzicht geeft. Andere bronnen definiëren tensoren als multilineaire afbeeldingen op vectorruimten. En weer anderen zien tensoren als een uitbreiding van het vectorconcept. Elk van deze invalshoeken heeft zijn waarde.
In deze tekst wil ik nagaan wat nu de nodige eigenschappen zijn van tensoren en hoe deze objecten geconstrueerd kunnen worden zodat ze aan deze eigenschappen voldoen. We gaan op zoek naar de meest algemene en fundamentele definitie van een tensor om vervolgens na te gaan welke bijkomende eigenschappen en structuren we gebruiken om tot de tensoren te komen die daadwerkelijk gebruikt worden in de ART. We willen dus niet enkel weten wat tensoren zijn, maar vooral waarom ze noodzakelijk zijn en hoe ze systematisch opgebouwd worden.

Om dit doel te bereiken werken we in vier delen.
(1) We onderzoeken welke wiskundige eigenschappen nodig zijn om natuurkundige theorieën te modelleren: linearisatie, superpositie en invariantie. Deze principes bepalen welke algebraïsche structuren geschikt zijn.

(2) We analyseren wat een vector precies is, welke structuur een vectorruimte heeft en waarom vectoren voldoen aan de eisen geformuleerd in deel (1).

(3) We breiden het begrip vector uit tot complexere lineaire objecten en komen zo tot een abstracte maar krachtige definitie van tensoren.

(4) Ten slotte bekijken we welke extra eigenschappen noodzakelijk zijn om te komen tot de het soort tensorrekenen dat we gewoon zijn te gebruiken in de algemene relativiteitstheorie.

[vijv]

Deel 1 linearisatie, superpositie en invariantie

Wanneer we een natuurkundig systeem mathematisch willen beschrijven, moeten we bepalen welke eigenschappen die beschrijving moet bezitten om betrouwbaar, consistent en onafhankelijk van willekeurige keuzes te zijn.
In het kader van deze tekst blijken de kernwoorden lineariteit, superpositie en invariantie te zijn.

Lineariteit en superpositie

We kunnen natuurkundige theorieën opdelen in lineaire en niet-lineaire theorieën.

Lineaire natuurkundige theorieën
Deze theorieën voldoen aan het superpositieprincipe: oplossingen kunnen worden opgeteld om nieuwe oplossingen te vormen. Enkele voorbeelden:

• Elektrodynamica (Maxwellvergelijkingen), De klassieke elektromagnetische veldvergelijkingen zijn lineair in het veld (bij afwezigheid van niet-lineaire materialen).
  Kwantummechanica (Schrödingervergelijking) De tijdafhankelijke Schrödingervergelijking is lineair in de golffunctie, wat interferentie en superpositie mogelijk maakt.
  Klein-Gordon en Dirac-vergelijkingen, Deze relativistische veldvergelijkingen zijn ook lineair in hun respectieve velden.
  Lineaire elastische theorie Voor kleine vervormingen is de relatie tussen spanning en rek lineair (Hooke’s wet).
  Lineaire golfvergelijkingen Geluidsgolven in een homogeen medium volgen een lineaire golfvergelijking.

Niet-lineaire natuurkundige theorieën

• Hier werkt superpositie niet; kleine veranderingen kunnen grote effecten hebben. Hier enkele voorbeelden:
  Algemene relativiteitstheorie (Einsteinvergelijkingen) De metriek en kromming beïnvloeden elkaar op een niet-lineaire manier.
  Navier-Stokesvergelijkingen (vloeistofdynamica) De convectieterm maakt deze vergelijkingen sterk niet-lineair.
  Niet-lineaire optica Bij hoge intensiteiten ontstaan verschijnselen zoals harmonische generatie.
  Plasmafysica en turbulentie Interacties tussen velden en deeltjes zijn niet-lineair.
  Sterke interacties (QCD) De gluon-zelfinteracties maken de theorie niet-lineair.

Maar wat is nu lineariteit en superpositie?

Definitie lineariteit

Lineariteit betekent dat de uitkomst van een combinatie van inputs gelijk is aan de combinatie van de afzonderlijke uitkomsten.
Een systeem of operator is lineair als het voldoet aan twee eigenschappen:

Additiviteit:
f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)
Homogeniteit (schaalbaarheid):
f(a⋅x)=a⋅f(x)
voor elke constante a.

Samen vormen deze eigenschappen de definitie van lineariteit. Dus een lineair systeem reageert proportioneel en optelbaar op invoer.

Definitie superpositie
Het superpositieprincipe zegt: als een systeem lineair is, dan is de totale respons op meerdere prikkels de som van de afzonderlijke responsen.
Voorbeeld in fysica:

• Golven: als twee golven elkaar ontmoeten, is de resulterende golf de som van beide (interferentie).
  Elektromagnetisme: het totale veld van meerdere bronnen is de vectoriële som van hun individuele velden.

Superpositie is een direct gevolg van lineariteit. Zonder lineariteit werkt superpositie niet. In niet-lineaire systemen (bijv. chaotische dynamica) kun je twee oplossingen niet simpelweg optellen.
Veel fysische systemen zijn niet-lineair: hun output is geen eenvoudige som van hun inputs. Toch willen we zulke systemen lokaal kunnen analyseren en voorspelbare benaderingen maken. Linearisatie maakt dit mogelijk door een niet-lineaire vergelijking te vervangen door een eerste-orde benadering in de buurt van een gekozen oplossing.
Voorbeelden hiervan zijn ), bijvoorbeeld gravitatiegolven in ART of kleine verstoringen in vloeistoffen.


Invariantie
Buiten deze twee concepten is voor de fysica nog een derde eigenschap uitermate belangrijk namelijk invariantie.
Het relativiteitsprincipe is één van de meest fundamentele pijlers van de moderne natuurkunde. Dit principe stelt dat de natuurwetten dezelfde vorm hebben in alle referentiekaders
Populair gezegd natuurwetten mogen niet afhangen van willekeurige keuzes van waarnemers.
Wiskundig vertaald dit zich dat de vergelijkingen die de natuurwetten beschrijven invariant zijn onder assentransformaties.

[Professor Puntje]

Interessant om te volgen! Tot nog toe maar één opmerking: vermoedelijk kan de ART ook met matrices (dus zonder tensoren) beschreven worden. Het volgende boek onderneemt een poging: https://www.bol.com/nl/nl/f/einstein-in ... 010173772/

Ik heb dat boek wel al in de kast staan maar nog niet gelezen. Hoe geslaagd het is weet ik niet.

[wnvl1]

In de literatuur worden tensoren op uiteenlopende manieren gedefinieerd. Soms zegt men dat een tensor “datgene is wat transformeert als een tensor”, wat cirkelvormig is en weinig inzicht geeft.

Ze zetten daar dan ook bij wat het betekent om te transformeren als een tensor. Ze bedoelen daarmee dat de transformatie regels voldoende zijn. Dat is het criterium. Het is geen cirkelredenering.

\[
\bar{T}^{i_1 \dots i_l}_{\;\;\;\; j_1 \dots j_k} =
\frac{\partial \bar{x}^{i_1}}{\partial x^{m_1}} \cdots
\frac{\partial \bar{x}^{i_l}}{\partial x^{m_l}}
\frac{\partial x^{n_1}}{\partial \bar{x}^{j_1}} \cdots
\frac{\partial x^{n_k}}{\partial \bar{x}^{j_k}}
\, T^{m_1 \dots m_l}_{\;\;\;\; n_1 \dots n_k}.
\]

[Professor Puntje]

Het is verwarrend want een tensor wordt nu juist gezien als een object dat onafhankelijk van gekozen coördinatenstelsels bestaat. De tensor zelf transformeert dan ook niet, enkel de representatie van een tensor ten opzichte van een gekozen coördinatenstelsel transformeert. Die transformerende componenten van de tensor zijn niet de tensor zelf. Wat die tensor zelf dan wel is blijft bij de beruchte circulaire definitie dan ook volstrekt onduidelijk. Het heeft mij een jaren om niet te zeggen decennia lange zoektocht in steeds geavanceerder wiskundeboeken gekost om er achter te komen wat een tensor dan wel is.

[wnvl1]

Het is exact hetzelfde als zeggen dat jouw lengte niet verandert door over te gaan van cm naar inches. Meer zit er niet achter.

[Professor Puntje]

Er zit wel meer achter. Dat er überhaupt wiskundige objecten kunnen bestaan die aan de transformatieregel voor tensoren voldoen is niet vanzelfsprekend. Met de circulaire definitie wordt de lezer voor de gek gehouden, en enkel maar een kunstje geleerd. Begrip komt er niet aan te pas. Voor wie er tevreden mee is om met tensoren te kunnen rekenen volstaat dat, maar voor wie wil weten wat tensoren zijn en dan van daaruit wil kunnen begrijpen welke eigenschappen tensoren hebben, vormt die circulaire definitie een bron van verwarring.

De volgende pseudo-definitie vormt wel een goede analogie voor wat er met de circulaire definitie mis is:

Een getal \( \mathcal{D} \) is een drommel als dit getal zich voor alle reële getallen a als een drommel gedraagt. Waarbij we dan vervolgens nog zeggen dat \( \mathcal{D} \) zich als een drommel gedraagt als voor alle reële getallen a geldt dat: \( (a \cdot 0) \cdot \mathcal{D} \, = \, a \) .

Deze "definitie" is ondeugdelijk omdat zij de schijn wekt dat er daarmee drommels in het leven geroepen worden, terwijl er helemaal geen getallen bestaan die aan de drommel-regel voldoen! Net zo zul je ook bij de circulaire tensor-definitie eerst nog moeten aantonen dat er objecten bestaan die aan de vermelde tensor transformatie-regel voldoen. En voor tensoren kan dat inderdaad wel, maar om dat te kunnen doen moet je weer weten wat een tensor is. Dan pas kun je aantonen dat zulke objecten aan de tensor-transformatie voldoen. Maar dan zijn we weer terug bij af. De circulaire tensor-definitie deugt gewoon niet.

Maar zulke discussies hebben we al eerder gehad, dus hier laat ik het even bij. Dit is vijv's topic.

[markos]

Ik heb zelf een texteffect-engine in assembly geschreven voor DOS en daar zit een fullscreen box parameter in wat ook een soort tensor is, je moet maar even kijken op m'n homepage kijken.

[vijv]

Interessant om te volgen! Tot nog toe maar één opmerking: vermoedelijk kan de ART ook met matrices (dus zonder tensoren) beschreven worden. Het volgende boek onderneemt een poging: https://www.bol.com/nl/nl/f/einstein-in ... 010173772/

Ik heb dat boek wel al in de kast staan maar nog niet gelezen. Hoe geslaagd het is weet ik niet.

Het is vanzelfsprekend dat matrices ART kunnen beschreven; het is immers zo dat er een 1 op 1 relatie is tussen matrices en vectoren en tensoren. Meer nog alle rekenwerk in ART gebeurd via matrices.

Maar misschien toch interessant om in mijn tekst op te nemen wat het verschil is tussen tensoren en matrices.

[vijv]

In de literatuur worden tensoren op uiteenlopende manieren gedefinieerd. Soms zegt men dat een tensor “datgene is wat transformeert als een tensor”, wat cirkelvormig is en weinig inzicht geeft.

Ze zetten daar dan ook bij wat het betekent om te transformeren als een tensor. Ze bedoelen daarmee dat de transformatie regels voldoende zijn. Dat is het criterium. Het is geen cirkelredenering.

\[
\bar{T}^{i_1 \dots i_l}_{\;\;\;\; j_1 \dots j_k} =
\frac{\partial \bar{x}^{i_1}}{\partial x^{m_1}} \cdots
\frac{\partial \bar{x}^{i_l}}{\partial x^{m_l}}
\frac{\partial x^{n_1}}{\partial \bar{x}^{j_1}} \cdots
\frac{\partial x^{n_k}}{\partial \bar{x}^{j_k}}
\, T^{m_1 \dots m_l}_{\;\;\;\; n_1 \dots n_k}.
\]

Je hebt gelijk. Ik ga kijken hoe ik de tekst nog aanpas. Langs de andere kant is het niet erg dat er nog onduidelijkheid is in de inleiding.

[vijv]

Er zit wel meer achter. Dat er überhaupt wiskundige objecten kunnen bestaan die aan de transformatieregel voor tensoren voldoen is niet vanzelfsprekend. Met de circulaire definitie wordt de lezer voor de gek gehouden, en enkel maar een kunstje geleerd. Begrip komt er niet aan te pas. Voor wie er tevreden mee is om met tensoren te kunnen rekenen volstaat dat, maar voor wie wil weten wat tensoren zijn en dan van daaruit wil kunnen begrijpen welke eigenschappen tensoren hebben, vormt die circulaire definitie een bron van verwarring.

De volgende pseudo-definitie vormt wel een goede analogie voor wat er met de circulaire definitie mis is:

Een getal \( \mathcal{D} \) is een drommel als dit getal zich voor alle reële getallen a als een drommel gedraagt. Waarbij we dan vervolgens nog zeggen dat \( \mathcal{D} \) zich als een drommel gedraagt als voor alle reële getallen a geldt dat: \( (a \cdot 0) \cdot \mathcal{D} \, = \, a \) .

Deze "definitie" is ondeugdelijk omdat zij de schijn wekt dat er daarmee drommels in het leven geroepen worden, terwijl er helemaal geen getallen bestaan die aan de drommel-regel voldoen! Net zo zul je ook bij de circulaire tensor-definitie eerst nog moeten aantonen dat er objecten bestaan die aan de vermelde tensor transformatie-regel voldoen. En voor tensoren kan dat inderdaad wel, maar om dat te kunnen doen moet je weer weten wat een tensor is. Dan pas kun je aantonen dat zulke objecten aan de tensor-transformatie voldoen. Maar dan zijn we weer terug bij af. De circulaire tensor-definitie deugt gewoon niet.

Maar zulke discussies hebben we al eerder gehad, dus hier laat ik het even bij. Dit is vijv's topic.

Ook jou redenering is niet geheel onterecht, maar onze standaard wiskunde is gebaseerd op dit soort techniek. In de set theorie wordt nergens expliciet gedefinieerd wat een verzameling is, maar wel welke eigenschappen ze heeft. Dit is hier ook een beetje het geval.

In elk geval zal blijken (spoiler alert) dat deze definitie van tensoren niet de meest algemene definitie is en de transformatie regen een afleidbare eigenschap is.

[vijv]

Ik heb zelf een texteffect-engine in assembly geschreven voor DOS en daar zit een fullscreen box parameter in wat ook een soort tensor is, je moet maar even kijken op m'n homepage kijken.

Tensoren worden in vele disciplines gebruikt. Maar is het bij jou effectief een tensor of is het een matrix?

[Professor Puntje]

Er zit wel meer achter. Dat er überhaupt wiskundige objecten kunnen bestaan die aan de transformatieregel voor tensoren voldoen is niet vanzelfsprekend. Met de circulaire definitie wordt de lezer voor de gek gehouden, en enkel maar een kunstje geleerd. Begrip komt er niet aan te pas. Voor wie er tevreden mee is om met tensoren te kunnen rekenen volstaat dat, maar voor wie wil weten wat tensoren zijn en dan van daaruit wil kunnen begrijpen welke eigenschappen tensoren hebben, vormt die circulaire definitie een bron van verwarring.

De volgende pseudo-definitie vormt wel een goede analogie voor wat er met de circulaire definitie mis is:

Een getal \( \mathcal{D} \) is een drommel als dit getal zich voor alle reële getallen a als een drommel gedraagt. Waarbij we dan vervolgens nog zeggen dat \( \mathcal{D} \) zich als een drommel gedraagt als voor alle reële getallen a geldt dat: \( (a \cdot 0) \cdot \mathcal{D} \, = \, a \) .

Deze "definitie" is ondeugdelijk omdat zij de schijn wekt dat er daarmee drommels in het leven geroepen worden, terwijl er helemaal geen getallen bestaan die aan de drommel-regel voldoen! Net zo zul je ook bij de circulaire tensor-definitie eerst nog moeten aantonen dat er objecten bestaan die aan de vermelde tensor transformatie-regel voldoen. En voor tensoren kan dat inderdaad wel, maar om dat te kunnen doen moet je weer weten wat een tensor is. Dan pas kun je aantonen dat zulke objecten aan de tensor-transformatie voldoen. Maar dan zijn we weer terug bij af. De circulaire tensor-definitie deugt gewoon niet.

Maar zulke discussies hebben we al eerder gehad, dus hier laat ik het even bij. Dit is vijv's topic.

Ook jou redenering is niet geheel onterecht, maar onze standaard wiskunde is gebaseerd op dit soort techniek. In de set theorie wordt nergens expliciet gedefinieerd wat een verzameling is, maar wel welke eigenschappen ze heeft. Dit is hier ook een beetje het geval.

In elk geval zal blijken (spoiler alert) dat deze definitie van tensoren niet de meest algemene definitie is en de transformatie regen een afleidbare eigenschap is.

Uiteindelijk ontkom je er niet aan om zekere basisbegrippen als axiomatisch aan te nemen, waarbij je dus in essentie zegt van dit zijn de eigenschappen (axioma's) van die en die dingen (bijvoorbeeld verzamelingen), en daar heb je het maar mee te doen. Wel kun je dan nog onderzoeken of de vermelde axioma's consistent, onafhankelijk, volledig, etc. zijn, maar ook dat gaat niet zonder opnieuw van onbewezen onderstellingen uit te gaan. Je kunt immers niet vanuit niets beginnen! In principe probeert men binnen de wiskunde echter van zo min mogelijk axioma's uit te gaan. Vervelend genoeg is men in de abstracte algebra het woord "axioma's" later ook gaan misbruiken voor de eigenschappen van algebraïsche structuren, waardoor gemakkelijk het misverstand kan ontstaan dat men wiskundige objecten simpelweg in het leven kan roepen door een rijtje gewenste "axioma's" te formuleren. En zo worden tensoren dan ook vaak "gedefinieerd" als dingen die op een zekere wijze "transformeren" waarbij men geheel voorbij gaat aan de vraag of er wel dergelijke wiskundige objecten zouden kunnen bestaan. Wiskundig deugt een dergelijke wijze van doen niet, en wie verder kijkt dan de praktische bruikbaarheid alleen struikelt over een dergelijke aanpak.

[flappelap]

Misschien ook aardig om eens na te gaan: de worsteling van Einstein met tensoren en zijn tijdelijke overtuiging dat algemene covariantie funest was wat leidde tot zijn beruchte Loch-argument (hole-argument).

Toen hij eenmaal zijn algemeen-covariante veldvergelijkingen had gevonden, meende hij dat algemene covariantie een definiërende eigenschap was van zijn theorie, maar Erich Kretschmann floot hem daar al snel op terug: je kunt vrijwel elke theorie algemeen-covariant maken. Elie Cartan toonde dit een aantal jaar later aan door, ironisch, te laten zien dat Newtons zwaartekrachtstheorie algemeen-covariant is te maken, een formulering die we nu kennen als Newton-Cartan theorie. Deze formulering is later volledig metrisch geformuleerd, zodat je een metrische structuur kunt introduceren voor "Newtonse ruimtetijd", en bijbehorende metrische compatibiliteit, connecties, en Riemann-tensor. Dat alles laat zien dat algemene covariantie ("gebruik van algemeen-covariante tensoren") een stuk subtieler is dan veel tekstboeken je willen doen laten geloven. Zie b.v. "LOST IN THE TENSORS:
EINSTEIN'S STRUGGLES WITH COVARIANCE PRINCIPLES 1912-1916" van Earman en Glymour

https://www.cmu.edu/dietrich/philosophy ... ur1978.pdf

of Nortons "How Einstein found his Field Equations",

https://sites.pitt.edu/~jdnorton/papers ... qn_1-4.pdf

of vanaf hoofdstuk 2.5 van

https://pure.rug.nl/ws/portalfiles/port ... thesis.pdf