Constante som van de raaklijnen aan een ellips.

[Regor]

Na de curven van de meetkundige plaats van de punten met een constante zichthoek van een ellips.
Na de curven van de meetkundige plaats van de punten met een constante meerlengte dan de omtrek van een ellips.

Vraag ik mij af welke de curve is gevormd door me meetkundige plaats van de punten waarvoor dat de som van de raaklijnen aan een ellips constant is.

[RedCat]

In het algemeen geen ellips:

Tegenvoorbeeld:

Basisellips:
a = 8
b = 5

Puntenverzameling P (blauw):
Qi en Ri raakpunten van de raaklijnen vanuit Pi aan de basisellips
PiQi + PiRi = 9

Voorbeelden:

Code: Selecteer alles

P1=(9.88449579,0.00000000), Q1=(6.47478651,-2.93664480), R1=( 6.47478651,2.93664480)
P2=(5.08068268,5.08068268), Q2=(7.27611109, 2.07836769), R2=(-0.19929514,4.99844825)
P3=(0.00000000,5.87417871), Q3=(4.19895459, 4.25591410), R3=(-4.19895459,4.25591410)

Rode ellips:
a = P1x = 9.88449579
b = P3y = 5.87417871
P2 ligt niet op de rode ellips:
x = P2x = 5.08068268 => y_rood = 5.03879438 ≠ P2y = 5.08068268
dus de blauwe curve is geen ellips.

[Regor]

@RedCat,

Dank U,
Verdorie, weer (maar) een reeks "Quasi" ellipsen.
Stel dat de som van de lengte van de raaklijnen toeneemt...... zou de afwijking van een ellips dan ook toenemen ?
Stel vb som = 18

[RedCat]

PiQi + PiRi = 18

Code: Selecteer alles

P1=(13.00972066,0.00000000), Q1=(4.91939848,-3.94292873), R1=( 4.91939848,3.94292873)
P2=( 7.38112420,7.38112420), Q2=(7.98863189, 0.26645859), R2=(-3.11741510,4.60475820)
P3=( 0.00000000,8.90481567), Q3=(6.61984681, 2.80746968), R3=(-6.61984681,2.80746968)

y_rood(7.38112420) = 7.3328808646 ≠ P2y

Het scheelt in beide gevallen maar weinig...

[Regor]

@RecCat,

Dank U,
Verbazend dat de afwijking toz van een ellips niet toeneemt.
Is natuurlijk wel geen handige methode om ellipsen te construeren.
(Ik wil / mag er niet aan denken dat het onnauwkeurigheden zijn in de software !!!)

Ik durf het bijna niet meer te vragen, echt mijn laatste vraag / verzoek in deze topic hoor.
Hoe zou het zijn met een platte ellips ........... a = 8 , b = 2, som koord-lengtes = 2 of 4 of 8

[RedCat]

PiQi + PiRi = 18

M=(0,0), ∠P1MP2 = 10°

Code: Selecteer alles

P1=(13.65155819,0.00000000), Q1=(4.68810952,-0.81030115), R1=(4.68810952,0.81030115)
P2=(10.65473311,1.87871692), Q2=(7.88804590,-0.16671138), R2=(-3.86995393,0.87520941)
P3=(0.00000000,4.67754406), Q3=(7.81504169,0.21378740), R3=(-7.81504169,0.21378740)

De curve is nu niet eens concaaf meer!

Ik zal vanavond naar wat andere waarden kijken.

[RedCat]

@RecCat,
Ik wil / mag er niet aan denken dat het onnauwkeurigheden zijn in de software !!!

Dit wordt niet veroorzaakt door onnauwkeurigheden in de software, daarom heb ik de 3x3 punten in 8 decimalen steeds erbij geplaatst, zodat iedereen kan narekenen
dat PiQi + PiRi = de gewenste afstand
dat Q en R op de basisellips liggen
en dat QP en RP raaklijnen zijn aan de ellips

[Regor]

@RedCat,

Dank U,

Uiterst boeiend ..... voor mij althans !
Enig idee wat de voorwaarde is voor overgang van convec naar concaaf ?

[Bart23]

Een vreemde kurve inderdaad!
Na enkele monsterberekeningen heb ik de veeltermvergelijking van de kurve kunnen bekomen en die lijkt met dezelfde waarden voor a, b en "som" helemaal overeen te stemmen met de bevindingen van RedCat:

In de binnenkant zit een 'parasitair deel' dat meekomt vanwege het kwadrateren (en mss via complexe getallen wel kan geduid worden)

[Bart23]

Hoe groter de verhouding a/b hoe puntiger de citroen wordt. Deze heeft a=20.8, b=0.3

[RedCat]

De basis ellips zal gaan dienen als brandpunten ((a, 0) en (-a, 0) als b naar nul gaat) voor de nieuwe ellips.
Aan beide punten op de x-as blijft een lijnstuk over ("uitsteken op de x-as") met lengte afstandensom/2.

[Regor]

i.w. v. @Bart23 en @RedCat

Enig idee wat de voorwaarde is voor overgang van convec naar concaaf ?

[RedCat]

Hier voor a=8 en b=2, 1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.05 en 0.01 (van buiten naar binnen).
Deze basisellipsen heb ik niet ingetekend.

In rood de binnenellips, waar de blauwe curves voor b naar nul naar convergeren.

Naar het eindpunt bij b=0 moeten we nog even nader kijken, want de lijnstukken op de x-as lijken niet de lengte afstandensom/2 te hebben. (lopen we nu wel tegen de beperkte nauwkeurigheid van de software aan??)

[Bart23]

Dit lijkt een leuke opgave: wat is de x-coördinaat van het meest rechtse punt van de citroenkromme in functie van a en de afstandensom D. In het voorbeeld is D=10 en a= 8 (dit lijkt niet af te hangen van b), en de coördinaat is 10.86

[Bart23]

Ter info, dit is de vergelijking van de kromme

\( \begin{align*}
&D^4*a^8*y^8 + 4*D^4*a^6*b^2*x^2*y^6 + 6*D^4*a^4*b^4*x^4*y^4 + 4*D^4*a^2*b^6*x^6*y^2 + D^4*b^8*x^8 +\\
&4*D^2*a^{10}*b^2*y^6 - 4*D^2*a^{10}*y^8 + 4*D^2*a^8*b^4*x^2*y^4 - 4*D^2*a^8*b^4*y^6 - 4*D^2*a^8*b^2*x^2*y^6 +\\ &8*D^2*a^8*b^2*y^8 - 4*D^2*a^8*x^2*y^8 - 4*D^2*a^8*y^10 - 4*D^2*a^6*b^6*x^4*y^2 - 4*D^2*a^6*b^6*x^2*y^4 +\\ &12*D^2*a^6*b^4*x^4*y^4 + 20*D^2*a^6*b^4*x^2*y^6 - 16*D^2*a^6*b^2*x^4*y^6 - 16*D^2*a^6*b^2*x^2*y^8 - \\
&4*D^2*a^4*b^8*x^6 + 4*D^2*a^4*b^8*x^4*y^2 + 20*D^2*a^4*b^6*x^6*y^2 + 12*D^2*a^4*b^6*x^4*y^4 - \\
&24*D^2*a^4*b^4*x^6*y^4 - 24*D^2*a^4*b^4*x^4*y^6 + 4*D^2*a^2*b^{10}*x^6 + 8*D^2*a^2*b^8*x^8 - \\
&4*D^2*a^2*b^8*x^6*y^2 - 16*D^2*a^2*b^6*x^8*y^2 - 16*D^2*a^2*b^6*x^6*y^4 - 4*D^2*b^{10}*x^8 - 4*D^2*b^8*x^{10} -\\
&4*D^2*b^8*x^8*y^2 - 16*a^{10}*b^6*x^2*y^2 + 48*a^{10}*b^4*x^2*y^4 - 48*a^{10}*b^2*x^2*y^6 + 16*a^{10}*x^2*y^8 +\\
&32*a^8*b^8*x^2*y^2 + 48*a^8*b^6*x^4*y^2 - 96*a^8*b^6*x^2*y^4 - 96*a^8*b^4*x^4*y^4 + 96*a^8*b^4*x^2*y^6 + \\
&48*a^8*b^2*x^4*y^6 - 32*a^8*b^2*x^2*y^8 - 16*a^6*b^{10}*x^2*y^2 - 96*a^6*b^8*x^4*y^2 + 48*a^6*b^8*x^2*y^4 - \\
&48*a^6*b^6*x^6*y^2 + 192*a^6*b^6*x^4*y^4 - 48*a^6*b^6*x^2*y^6 + 48*a^6*b^4*x^6*y^4 - 96*a^6*b^4*x^4*y^6 +\\
&16*a^6*b^4*x^2*y^8 + 48*a^4*b^{10}*x^4*y^2 + 96*a^4*b^8*x^6*y^2 - 96*a^4*b^8*x^4*y^4 + 16*a^4*b^6*x^8*y^2 - \\
&96*a^4*b^6*x^6*y^4 + 48*a^4*b^6*x^4*y^6 - 48*a^2*b^{10}*x^6*y^2 - 32*a^2*b^8*x^8*y^2 + 48*a^2*b^8*x^6*y^4 +\\
&16*b^{10}*x^8*y^2 = 0
\end{align*}\)