Kromme met constante som van afstanden tot 3 punten

[Regor]

De ellips is de meetkundige plaats waarvan de som van de afstanden tot 2 punten (de brandpunten) constant is.

Ik vraag mij af welke de meetkundige plaats zou zijn van waarvan de som van de afstanden tot 3 punten constant is.
.............................
Er zijn natuurlijk oneindig veel verschillende configuraties mogelijk van de drie punten.
Ben in het bijzonder benieuwd ..... als de drie punten op één lijn liggen, met als éénvoudigste als het derde punt in het midden tussen de andere twee punten ligt.
Dus .... even zonder schets ..... 3 punten, F1 en F2 van een ellips, en O het midden tussen F1 en F2.
De kromme zou dus moeten een ellips zijn, gebaseerd op F1 en F2 met een super positie van de afstand naar het middelpunt O
............................
En als de drie punten een gelijkzijdige driehoek vormen ?

Ben weeral benieuwd.
Regor, ellipsofiel met een immer onrustige geest.

[RedCat]

3 punten op een lijn (-2, 0), (0, 0) en (2, 0):

d = afstandensom: in de oorsprong: d=4, daarna curves voor d=4.2, 4.4, 4.6, 4.8, enz.; geheeltallige afstandensommen (5, 6, 7, ...) curves in rood


3 punten op gelijkzijdige driehoek:

binnenste (rode) curve: afstandensom d=7, daarbuiten als boven: 7.2, 7.4, ...; geheeltallige weer in rood weergegeven

[Regor]

@RedCat,

Dank U,
Maar ik snap uw krommen niet ... kan aan mij liggen hoor.
("Hoeveelheid"van oplossingen / krommen hoeven voor mij ook niet hoor Bart, een paar / speciale gevallen zijn genoeg, het is voor mij kwestie van het gedrag van de krommen in te zien. )

Ik heb een schets gemaakt.
Ik denk aan de volgende stappen:
We nemen de twee verste punten F1 en F2
We teken een (willekeurige) ellips met deze twee (brand) punten, grote halve as "a", halve kleine as"b" .
Alle punten van deze kromme / ellips hebben dezelfde som van de afstanden ("e"+"f" ) = 2a naar de twee punten ....... natuurlijk.
Maar nu moet nog voor alle punten P1 van de kromme / ellips de afstand "g" van het punt P1 tot "0" (derde punt ) bijgeteld worden ... geeft voor P1 het punt P2.

Welke is de kromme gevormd door de punten P2 als men dat voor alle P1 punten toepast.
Ik krijg intuitief heel andere figuren.
vb op de positieve "x" as is de som van de afstanden van het punt P1 tot F1 en F2 = 2a
en de afstand van het punt P2 ..........2a + a = 3 a
Voor de "y" as .....2a + b

[RedCat]

Ik had de punten P bepaald, zodanig dat
|F1 P| + |O P| + |F2 P| = constant

In uw plaatje ligt punt P2 op de curve:
h + 2g + i = constant

afstandensom 195 keer bekeken

Als F1=(-2,0), O=(0,0) en F2=(2,0),

dan ligt punt Q=(1,0) op de curve met constante = 5:

|F1 Qi| + |O Qi| + |F2 Qi| = 3 + 1 + 1 = 5

dat wil zeggen: de curve van alle punten Q waarvoor de afstandensom tot F1, O en F2 gelijk is aan 5

[Regor]

@RedCat,

Ik snap er niets van , en ben er dus niet mee eens.
Ik vermoed dat wij op verschillende frequenties staan.
Waar is "Q" ?

Ik probeer .......
Eerst bepaal ik de kromme van de punten P1 op gelijke SOM van de afstanden naar F1 en F2 .. dat is een ellips.
Dus moet ik nu alle punten P1 op de ellips beschouwen .......maar de afstand P1 tot het midden "0 " erbij tellen.
Dat geeft met zekerheid geen cirkel !
Want de gezochte kromme snijd de "x" as in 2a + a = 3a
(2a is ook de touwlengte van de ellips)
Het snijpunt met de "y" as is 2a + b

[RedCat]

Voor alle punten P op de ellips is |F1P| + |F2P| = constant.
In bovenstaand plaatje: |F1P| + |F2P| = 10

Als je daar de afstand |OP| bij optelt voor de afstandensom van 3 punten, F1P + OP + F2P, dan krijg je:
|F1P| + |F2P| + |OP| = (|F1P| + |F2P|) + |OP| = 10 +|OP|
Afhankelijk van het punt op de ellips liggen die punten op verschillende curves met constante afstand tot 3 punten:

A=(5,0) ligt op de curve |F1P| + |F2P| + |OP| = 15
B=(0,3) ligt op de curve |F1P| + |F2P| + |OP| = 13
P ligt op de curve met een constante die ergens daar tussenin ligt (= de som van de blauwe afstanden).

[Regor]

@RedCat,

Mea Culpa, mijn topic weerspiegeld niet wat ik schetste.
Akkoord met alles wat U voorheen in deze topic poste, dank U
...................................................................................................
Dan toch maar even naar mijn schets ( liever dan een nieuwe topic )

Wat is de meetkundige plaats van de punten P2 op een afstand gelijk aan de som van de blauwe afstanden ..... in de richting van OP / OP2 ?

[RedCat]

Geen probleem, de topic titel op zich levert in ieder geval al boeiende plaatjes op.

Dan verder met de huidige vraag:
O, P en P2 liggen op 1 lijn,
maar hoe lang definieert u de afstand h = |P P2|, uitgedrukt in e, f en g?
(waarbij e=|F1 P|; f=|F2 P| en g=|O P|)

[Regor]

@RedCat,

Ok,
Lengte PP2 = g ...... is de afstand van P tot het derde punt O , dus voor elke richting anders.

[RedCat]

Als P op de basisellips E ligt,
dan is P=(a*cos(t), b*sin(t))

Voor P2, in het verlengde van P, op 2 keer de afstand van P tot de oorsprong, geldt dan
P2 = (2a*cos(t), 2b*sin(t)),
en dat is in feite een vermenigvuldiging vanuit de oorsprong met factor 2,
zodat de nieuwe ellips halve lange as (2*a) en halve korte as (2*b) heeft.

[Regor]

@RedCat,

Ja, natuurlijk verdorie!
Alhoewel U er al direct van uitgaat dat de P2 kromme een ellips is, maar ok.
Het is gewoon een schaalfactor van 2.
Wat een triestig einde van deze topic ..... heb rust nodig ..... best dat het jaar bijna om is.

Prettige feestdagen.

[Regor]

@RedCat,

Triestig ?
Alhoewel, het bewijst dat de kromme met constante som van de afstanden tot 3 punten, waarbij het derde punt in het midden ligt ...... ook een ellips is.

Wat als het derde punt NIET in het midden ligt maar bv op 3/4 en 1/4 ?

Ben benieuwd.!

[RedCat]

Hierboven een plaatje waarbij niet de oorsprong maar punt V = (3, 0) het derde punt is (naast de 2 brandpunten op (±4, 0) ).
Vanuit V vermenigvuldigen we de basisellips (zwart) met een factor 2.

Punt P=(Px, Py) op de basisellips wordt nu afgebeeld op punt Q=(Qx, Qy) op de resultaat-ellips (groen).
Dan geldt:
Qx = Vx + 2*(Px - Vx) = 2Px - Vx = 2Px - 3
Qy = 2*Py

De resultaatellips is dus weer een ellips met halve lange as = (2*a) en halve korte as = (2*b),
maar alle x-coordinaten Cx=3 naar links verschoven.
Het middelpunt van de resultaatellips is dus (-3, 0).

In de figuur ook de resultaten A' en B' van de punten A=(5, 0) en B=(0, 3) uit het vorige voorbeeld.

Prettige feestdagen!

[Regor]

@RedCat,

Dank U,

Vindt U dat niet bijzonder ? ........ ik wel hoor!.
Heft niets te maken met uit te rekken, te verschalen, te verdraaien !
Welke is de formule van de groene ellips als functie van de a en b en V van de basis ellips ?