Ordinaat verschil tussen cirkel en ellips op twee wijzen

[Regor]

De vraag is hoe de grafiek, en liefst ook de formule, eruit ziet van het verschil in "y" coordinaat tussen de ellips en de cirkel met straal "r" = "a" .......... zoals op de schets rechts.

Maar ook de grafiek en mogelijks de formule voor de evolutie van de waarden m en n als functie van x ....... zoals op de schets links.

Ik meen mij te herinneren dat in het geval "rechts" de grafiek .. een halve sinus is ....... omdat ik steeds onthouden heb .... een ellips is een cirkel plus een sinus.

[Regor]

Volgens de linkse schets misschien eenvoudiger volgens de hoek ten opzichte van "x".

[RedCat]

De vraag is hoe de grafiek, en liefst ook de formule, eruit ziet van het verschil in "y" coordinaat tussen de ellips en de cirkel met straal "r" = "a" .......... zoals op de schets rechts.
Ik meen mij te herinneren dat in het geval "rechts" de grafiek .. een halve sinus is ....... omdat ik steeds onthouden heb .... een ellips is een cirkel plus een sinus.

Via de parameter vergelijkingen (parameter \(t_c\) voor de cirkel en parameter \(t_e\) voor de ellips):
- cirkel C met daarop punt A: \(A = (xa, ya) = (r \cos t_c, r\sin t_c)\)
- ellips E met daarop punt B: \(B = (xb, yb) = (a \cos t_e, b\sin t_e)\)

Als gegeven is: r = a, dan geldt voor punt A: \(A = (xa, ya) = (a \cos t_c, a\sin t_c)\)
Verder is gegeven: xa = xb en voor de ellips: b > a:
\(xa = xb \Leftrightarrow a\cos t_c = a\cos t_e \Leftrightarrow t_c = t_e\)
Maar als \(t_c\) gelijk is aan \(t_e\), dan is de afstand AB:
\(AB = yb-ya = b\sin t_e - a\sin t_c = b\sin t_c - a\sin t_c = (b-a) \sin t_c\)

Dus kunt u inderdaad stellen: "ellips E = cirkel C + (b-a)×sin(t)"

(PS: wiskundig nog wel even netjes afwerken met betrekking tot alle kwadranten, de periodiciteit, etc., maar dat kan analoog aan bovenstaande)

Op uw andere vraag kom ik later terug.

[RedCat]

Volgens de linkse schets misschien eenvoudiger volgens de hoek ten opzichte van "x".

Voor punt A op cirkel C (middelpunt oorsprong, straal=r) geldt: \(A = (xa, ya) = \left(\sqrt{r^2-n^2}, n\right)\)
(de y-coordinaat van A = n, dus de x-coordinaat = \(\sqrt{r^2-n^2}\))

Hierdoor is lijn l:

\(l: y = (\tan \theta)\cdot x = \frac{n}{\sqrt{r^2-n^2}}\cdot x\)

Voor ellips E geldt: b=r, dus:

\(E:\; y = \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2} = \frac{r}{a}\sqrt{a^2-x^2}\)

Voor het snijpunt B = (xb, yb) van lijn l en ellips E kom ik uit op:

\(xb=a\cdot\sqrt{\frac{r^4-n^2r^2}{a^2n^2+r^4-n^2r^2}}\)

\(yb=r\cdot\sqrt{\frac{a^2n^2}{a^2n^2+r^4-n^2r^2}}\)

Met bovenstaande resultaten ligt de afstand AB (bij gegeven a en r) als functie van n vast, en ontstaat deze curve:
(AB op de y-as, n op de x-as):

PS: het uitdrukken van \(AB(n) = \sqrt{(xa-xb)^2+(ya-yb)^2}\) in \(a\) en \(r\) laat ik over aan iemand die beschikt over een rekenpakket met symbolische algebra.