[gevorderde] Toepassingen van QFT wiskunde in andere domeinen

[wnvl1]

Hier een eerste vraag met een indicatie van de moeilijkheidsgraad.

QFT is wiskundig lastige theorie met technieken die je in andere takken van de wetenschap niet direct tegenkomt, zeker niet op beginnersniveau. Zijn jullie al gevorderde wiskundige technieken uit QFT elders tegengekomen? Waar? Helpt dat om het inzicht te vergroten?

Ik denk aan Wick rotaties, contour integratie, het truukje met de \(i\epsilon\)-term in de Feynman-propagator, ... om wat inspiratie te geven.

Tijdens mijn ingenieurs opleiding hebben we bvb. wel contourintegratie in het complexe vlak geleerd, maar voor technische toepassingen niet expliciet gebruikt.

[Professor Puntje]

Mooi om de [gevorderde] tag al toegepast te zien worden!

Verder weet ik hier te weinig van af.

[flappelap]

Je kunt de technieken van b.v. contourintegratie vrij algemeen toepassen bij partiële differentiaalvergelijkingen: Fourier-transformeer zodat de differentiaalvgl algebraïsch wordt en pas contourintegratie toe. Zo'n i-epsilon prescriptie legt dan gewoon randcondities op die uit de familie van oplossingen er eentje uitlicht.

Verder worden padintegralen geloof ik ook wel es in de financiële wiskunde gebruikt, maar daarvoor zou ik arXiv es moeten checken.

[wnvl1]

OK, voor warmtetransport krijg je dan van AI:

Warmtevergelijking en bron

Beschouw de warmtevergelijking op \(\mathbb{R}^3\):
\[
\partial_t T(\mathbf{x},t) - \kappa \nabla^2 T(\mathbf{x},t)
= Q(\mathbf{x},t),
\]
waar \(T(\mathbf{x},t)\) de temperatuur is en \(\kappa>0\) de warmtegeleidingscoëfficiënt.

Voor de Green-functie kiezen we een puntsbron:
\[
Q(\mathbf{x},t)
= \delta^{(3)}(\mathbf{x})\,\delta(t).
\]

Fouriertransformatie

We definiëren de Fouriertransformatie in ruimte en tijd als
\[
T(\mathbf{x},t)
= \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}
\int \frac{d\omega}{2\pi}
\, e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\omega t)}\,
\tilde T(\mathbf{k},\omega).
\]

Onder deze transformatie geldt:
\[
\partial_t \to -i\omega,
\qquad
\nabla^2 \to -k^2.
\]

De warmtevergelijking wordt daarmee algebraïsch:
\[
(-i\omega + \kappa k^2)\,\tilde T(\mathbf{k},\omega) = 1,
\]
zodat
\[
\tilde T(\mathbf{k},\omega)
= \frac{1}{-i\omega + \kappa k^2}.
\]

Poolstructuur en \(i\epsilon\)-prescriptie

We schrijven de noemer als
\[
-i\omega + \kappa k^2
= -i(\omega + i\kappa k^2).
\]

Er is dus een pool in het complexe \(\omega\)-vlak bij
\[
\omega = -i\kappa k^2,
\]
die in het onderste halfvlak ligt.

Om expliciet de causale (retarded) oplossing te selecteren, voegen we een
\(i\epsilon\)-prescriptie toe:
\[
\tilde T(\mathbf{k},\omega)
= \frac{1}{-i(\omega + i\kappa k^2 - i\epsilon)},
\qquad \epsilon \to 0^+.
\]

Deze keuze correspondeert met de randvoorwaarde \(T(t<0)=0\).

Inverse Fouriertransformatie in de tijd

We voeren eerst de inverse Fouriertransformatie in de tijd uit:
\[
T(\mathbf{k},t)
= \int \frac{d\omega}{2\pi}
\frac{e^{-i\omega t}}{-i\omega + \kappa k^2}.
\]

Bij contourintegratie geldt:

voor \(t>0\) sluiten we de contour in het onderste halfvlak;
voor \(t<0\) sluiten we de contour in het bovenste halfvlak.


Omdat de pool alleen in het onderste halfvlak ligt, volgt:
\[
T(\mathbf{k},t)
=
\begin{cases}
e^{-\kappa k^2 t}, & t>0, \\
0, & t<0.
\end{cases}
\]

Dit kan compact worden geschreven als
\[
T(\mathbf{k},t)
= \theta(t)\,e^{-\kappa k^2 t}.
\]

Inverse Fouriertransformatie in de ruimte

Nu voeren we de inverse Fouriertransformatie in de ruimte uit:
\[
T(\mathbf{x},t)
= \theta(t)
\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}
\, e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}
\, e^{-\kappa k^2 t}.
\]

Deze integraal is een standaard Gauss-integraal en levert:
\[
T(\mathbf{x},t)
=
\theta(t)\,
\frac{1}{(4\pi\kappa t)^{3/2}}
\exp\!\left(
-\frac{|\mathbf{x}|^2}{4\kappa t}
\right).
\]

Interpretatie

De Fouriertransformatie reduceert de partiële differentiaalvergelijking tot een algebraïsche vergelijking. De inverse transformatie vereist contourintegratie, en de \(i\epsilon\)-prescriptie selecteert een specifieke oplossing uit een analytische familie.

In dit voorbeeld correspondeert die keuze met causaliteit: warmte verspreidt zich alleen voor \(t>0\), na het inschakelen van de bron.

[flappelap]

Het simpelste voorbeeld is de 1-dim. oscillator met wrijving. Ik heb dat nog es in detail uitgewerkt, zal es kijken of ik die notes hier kan neerzetten.

[wnvl1]

Dat is een eenvoudiger voorbeeld. Dan zit je niet met die problematiek met die \(i\epsilon\)-prescriptie, op de manier zoals AI het uitwerkt.

-----------------------------

De 1-dimensionele harmonische oscillator met lineaire wrijving voldoet aan:
\[
\ddot x + 2\beta \dot x + \omega_0^2 x = 0, \quad x(0)=x_0, \ \dot x(0)=v_0
\]

\(\beta = \gamma/(2m), \ \omega_0^2 = k/m\)

Om de Fourier-transformatie toe te passen, definiëren we een causaal signaal:
\[
x_c(t) = x(t) \theta(t)
\]

De Fourier-transformatie van een afgeleide voor een causaal signaal is:
\[
\mathcal{F}\{\dot x_c(t)\} = i\omega \tilde x(\omega) - x_0, \quad
\mathcal{F}\{\ddot x_c(t)\} = -(i\omega)^2 \tilde x(\omega) - i\omega x_0 - v_0
\]


Fourier-transformeren van de DGL geeft:
\[
[-\omega^2 \tilde x(\omega) - i\omega x_0 - v_0] + 2\beta [i\omega \tilde x(\omega) - x_0] + \omega_0^2 \tilde x(\omega) = 0
\]

Hieruit volgt:
\[
\tilde x(\omega) = \frac{v_0 + x_0 (2\beta - i\omega)}{\omega_0^2 - \omega^2 + 2i \beta \omega}
\]

De inverse Fourier-transform is:
\[
x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde x(\omega) e^{i\omega t} \, d\omega
\]

Met residustelling in het complexe \(\omega\)-vlak, met polen bij:
\[
\omega = i\beta \pm \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} = i\beta \pm \omega
\]

krijgen we voor \(t>0\):
\[
x(t) = e^{-\beta t} \left[ x_0 \cos(\omega t) + \frac{v_0 + \beta x_0}{\omega} \sin(\omega t) \right],
\quad \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}
\]

[wnvl1]

dubbel

[wnvl1]

En hier dan hetzelfde met \(i\epsilon\)-prescriptie
-----------------------

Differential equation:
\[
\ddot x + 2\beta \dot x + \omega_0^2 x = 0, \quad x(0)=x_0, \ \dot x(0)=v_0
\]

Fourier-transform:
\[
\tilde x(\omega) = \int_{0}^{\infty} x(t) e^{i\omega t} dt
\]

\(i\epsilon\)-prescriptie:
Om de Fourier-transformatie convergent te maken en causaliteit af te dwingen, voegen we een kleine demping toe:
\[
\omega \to \omega + i \epsilon, \quad \epsilon>0
\]

Fourier van de afgeleiden:
\[
\mathcal{F}\{\dot x\} = i (\omega + i \epsilon) \tilde x(\omega) - x_0, \quad
\mathcal{F}\{\ddot x\} = -(\omega + i \epsilon)^2 \tilde x(\omega) - i (\omega + i \epsilon) x_0 - v_0
\]

Fourier van de DGL:
\[
[-(\omega+i\epsilon)^2 \tilde x(\omega) - i(\omega+i\epsilon)x_0 - v_0]
+ 2\beta [i(\omega+i\epsilon)\tilde x(\omega) - x_0] + \omega_0^2 \tilde x(\omega) = 0
\]

Oplossen voor \(\tilde x(\omega)\):
\[
\tilde x(\omega) = \frac{v_0 + x_0 (2\beta - i(\omega+i\epsilon))}{\omega_0^2 - (\omega+i\epsilon)^2 + 2 i \beta (\omega+i\epsilon)}
\]

Inverse Fourier met \(i\epsilon\):
\[
x(t) = \frac{1}{2\pi} \lim_{\epsilon\to 0^+} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde x(\omega) e^{-i\omega t} d\omega
\]

Polen:
De polen van de integrand liggen bij
\[
\omega = -i\epsilon - i\beta \pm \sqrt{\omega_0^2-\beta^2} \approx -i\beta \pm \omega
\]

Residuen en oplossing:
\[
x(t) = e^{-\beta t} \left[ x_0 \cos(\omega t) + \frac{v_0 + \beta x_0}{\omega} \sin(\omega t) \right],
\quad \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}
\]

Opmerking: De \(i\epsilon\)-prescriptie dwingt causaliteit af, zodat de contour in het complexe \(\omega\)-vlak boven de polen wordt gesloten voor \(t>0\). Hierdoor verschijnt automatisch de juiste exponentiële vervalfactor \(e^{-\beta t}\).

[wnvl1]

Is die laatste oplossing van AI zinnig? Met die \(i\epsilon\) wordt uiteindelijk niet veel gedaan in mijn vorige post.

[wnvl1]

Hier een toepassing voor het berekenen van optieprijzen op de beurs. Dat is best wel interessant; dat is een eenvoudigere toepassing dan echte QFT.

Optieprijs berekenen met een padintegraal

De prijs \( S_t \) van het onderliggende actief volgt het Black--Scholes-model:
\[
\frac{dS_t}{S_t} = r\,dt + \sigma\, dW_t
\]

Hierbij is \( S_t \) de prijs van het actief op tijdstip \( t \),
\( r \) de risicovrije rente,
\( \sigma \) de volatiliteit
en \( W_t \) een Wienerproces (Brownse beweging).

De logaritmische prijs wordt gedefinieerd als \( x_t = \ln S_t \).
Met It\^o’s lemma volgt:
\[
dx_t = \left(r - \tfrac12\sigma^2\right)dt + \sigma dW_t
\]

De drift van het proces is \( \mu = r - \tfrac12\sigma^2 \).

De overgangskansdichtheid om van \( x_0 \) naar \( x_T \) te gaan in tijd \( T \)
kan worden geschreven als een padintegraal:
\[
P(x_T,T \mid x_0,0)
=
\int \mathcal{D}[x(t)]\, e^{-S[x(t)]}
\]

Hierin is \( \mathcal{D}[x(t)] \) de integraal over alle mogelijke paden \( x(t) \)
en \( S[x(t)] \) de actie van een pad.

De actie heeft de vorm:
\[
S[x(t)] =
\int_0^T dt\;
\frac{1}{2\sigma^2}
\left(\dot x(t) - \mu\right)^2
\]

waar \( \dot x(t) = \frac{dx(t)}{dt} \).

Omdat de actie kwadratisch is, kan de padintegraal exact worden geëvalueerd
en resulteert een Gaussische verdeling:
\[
P(x_T,T|x_0,0)
=
\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2 T}}
\exp\!\left[
-\frac{(x_T - x_0 - \mu T)^2}{2\sigma^2 T}
\right]
\]

De prijs \( C_0 \) van een Europese calloptie met uitoefenprijs \( K \) is:
\[
C_0 =
e^{-rT}
\int_{-\infty}^{\infty} dx_T\;
P(x_T,T|x_0,0)\;
\max(e^{x_T}-K,0)
\]

Hierbij is \( e^{-rT} \) de disconteringsfactor.

Evaluatie van deze integraal leidt tot de Black--Scholes-formule:
\[
C_0 = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)
\]

met:
\[
d_1 =
\frac{\ln(S_0/K)+(r+\tfrac12\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}},
\qquad
d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}
\]

waar \( N(\cdot) \) de cumulatieve verdelingsfunctie van de
standaardnormale verdeling is.

De interpretatie is dat de optieprijs het gewogen gemiddelde is van alle
mogelijke prijspaden, waarbij elk pad wordt gewogen met zijn
waarschijnlijkheid en zijn payoff op expiratie.

[vijv]

Ik vind het erg interessant. Helaas ontbreekt mij hier teveel parate kennis om inhoudelijk te reageren.