Definitie van lineariteit

[vijv]

Ik ben op zoek naar een sluitende definitie van lineariteit die er toe leidt dat een module de verzameling is met de minimale structuur die nodig is om te spreken over lineaire objecten.

Samen met Chatgpt kom ik tot volgende definitie:

Een object is lineair precies wanneer de structuur van de verzameling M waartoe het object behoort toelaat om lineaire combinaties te vormen Dat wil zeggen dat een object y ∈ M kan samengesteld worden uit andere gelijkaardige objecten:
y= a₁x₁+a₂ x₂+⋯+a_n x_n met x₁,x₂ ,…x_n ∈M en a₁,a₂,…a_n scalairen
De lineaire combinaties moeten onafhankelijk zijn van hun concrete representatie.

Maar ik twijfel een beetje aan chatgpt. Is de laatste eis strikt noodzakelijk om later de eigenschappen van ring en module af te leiden?

[Professor Puntje]

De lineaire combinaties moeten onafhankelijk zijn van hun concrete representatie.

Maar ik twijfel een beetje aan chatgpt. Is de laatste eis strikt noodzakelijk om later de eigenschappen van ring en module af te leiden?

Ik begrijp niet wat daar beweerd wordt. De lineaire combinaties zijn toch de concrete representaties? Verder is wellicht dit relevant: https://math.stackexchange.com/question ... f-a-module

[vijv]

De hierboven gegeven conceptuele definitie is fout, want niet elk y element van de module M kan geschreven worden als een lineaire combinatie van andere elementen. Andersom is wel waar, elke lineaire combinatie van elementen uit M is terug een element van M.
De eis van representatieonafhankelijkheid wil zeggen dat de manier waarop we de algebraische bewerkingen opschrijven het object niet wijzigt. Maw (ax+by)+cz en ax+(by+cz) vertegenwoordigen hetzelfde element van M (associativiteit van de optelling).
Mijn vraag is nu of dit essentieel is of associativiteit als axioma op een andere wijze kan verantwoord worden of anders gesteld waarom is associativiteit noodzakelijk voor een minimale lineaire structuur.

[Professor Puntje]

Wat gebeurt er als je recursief definieert:

x₁ + x₂ + x₃ + ... + x_n + x_n+1 = ( x₁ + x₂ + x₃ + ... + x_n ) + x_n+1

[vijv]

Wat bedoel je?

[Professor Puntje]

Als je de betekenis van de optelling zonder haakjes op de aangegeven recursieve wijze vastlegt dan krijgt de uitdrukking voor de lineaire combinatie y= a₁x₁+a₂ x₂+⋯+a_n x_n met x₁,x₂ ,…x_n ∈M en a₁,a₂,…a_n scalairen vanzelf ook een eenduidige betekenis. Vervolgens kun je dan onderzoeken wat daarvan de consequenties zijn.

[vijv]

Als je het recursief definieert leg je de volgorde van de bewerkingen vast en is er geen associativiteit.

y= (a₁x₁+a₂ x₂+ ⋯+a_n-1 x_n-1) +a_n x_n
zegt dat je eerst (a₁x₁+a₂ x₂+a_n-1 x_n-1 +⋯) moet optellen en dan pas a_n x_n er bij optellen. als je dit recursief herhaalt krijg je het volgende:

(((... (a₁x₁+a₂ x₂)+⋯)+a_n-1 x_n-1 ) +a_n x_n

[Professor Puntje]

Dat is het idee ja. Vervolgens kun je dan kijken wat er in het honderd loopt als je geen associativiteit eist. Als je niet definieert wat een som van meer dan twee termen zonder haakje betekent dan betekent een dergelijke som helemaal niets, en dat zou nog rampzaliger zijn dan het gebruik van de vermelde recursief gedefinieerde betekenis voor zo'n som zonder haakjes. De vraag of een zeker element van M kan worden geschreven in de vorm a₁x₁+a₂ x₂+ ⋯+a_n x_n kan nu ten minste zinvol gesteld en wellicht ook beantwoord worden.

[vijv]

Ik weet niet zeker of ik je helemaal begrijp. Dus misschien schrijf ik hetzelfde wat jij bedoeld.
Een som zonder haakjes kan je enkel schrijven als associativiteit geld anders is deze som betekenisloos. Zonder haakjes betekent immers dat x+(y+z) = (x+y)+z ofwel dat het niet uitmaakt welke som je het eerst uitvoert.
Ondertussen heb ik gevonden dat associativiteit geen vereiste is voor lineaire combinaties. Deze objecten leven dan in een semi-module

PS Ik vind het wel erg stil hier in de wiskundeafdeling.

[Professor Puntje]

Ik weet niet zeker of ik je helemaal begrijp. Dus misschien schrijf ik hetzelfde wat jij bedoeld.
Een som zonder haakjes kan je enkel schrijven als associativiteit geld anders is deze som betekenisloos. Zonder haakjes betekent immers dat x+(y+z) = (x+y)+z ofwel dat het niet uitmaakt welke som je het eerst uitvoert.

Dat komt inderdaad op hetzelfde neer als wat ik schrijf.