Leuke priem rij die steeds leidt naar 1

[Regor]

Gegeven een rij van natuurlijke getallen gevormd door het toepasen van twee algoritmes voor alle natuurlijke getallen.

Twee algoritmes:
Als "n" geen priemgetal is ....... doe dan (-3)
Als "n" wel een priemgetal is ..... doe dan (+1)

Bewijs wiskundig dat al deze rijen leiden naar 1

Vreselijke opmerking :"
Beschouw "in deze rij" ook 1 als een priemgetal (volgens de definitie uitsluitend deelbaar door zichzelf en door 1 )
(Geen opmerkingen daarover aub)....... het zou voor 1 leiden tot -2 als enige uitzondering.

[RedCat]

n ≤ 4 komt altijd op 1 uit (= "de 1-lus"): 1->2->3->4->1
n > 4: is altijd dalend:
- n is niet-priem: n -> (n-3) = dalend in 1 stap
- n is priem: n -> (n+1) -> (n-2) = dalend in 2 stappen van het algoritme
Dit laatste omdat (n+1) even is, dus zeker geen priem, waardoor (n+1) op zijn beurt wordt afgebeeld op (n+1)-3 = n-2.

[Regor]

@RedCat,

Dank U,
U schreef,
n > 4: is altijd dalend:
- n is priem: n -> (n+1) -> (n-2) = dalend in 2 stappen van het algoritme

Na dalen in 2 stappen kan hij verder weer stijgen (de rij maakt dus zoveel sprongen omhoog (n+1) als er priems voorkomen ), dus het aantal getallen in de rij is niet voorspelbaar ......... mee eens ?
29/30/27/24/21/18/15/12/9/6/3/4/1

Maar alle rijen komen altijd in de eind lus 1/2/3/4/1 ....... omdat alle rijen naar 1 gaan
Vanaf 6 (inclusief) eindigen de rijen altijd op 6/3/4/1 ... vooraleer ze in de lus 1/2/3/4/1 komen

[RedCat]

n > 4: is altijd dalend:
- n is priem: n -> (n+1) -> (n-2) = dalend in 2 stappen van het algoritme

Na dalen in 2 stappen kan hij verder weer stijgen (de rij maakt dus zoveel sprongen omhoog (n+1) als er priems voorkomen ),

Iets anders/wellicht duidelijker geformuleerd:

Voor elke n>4 gaat de rij in 1 of 2 stappen van het algoritme richting 1:
- is \(n_i\) niet priem, dan is \(n_{i+1} = n_i-3 < n_i\) (in 1 stap van het algoritme)
- is \(n_i\) wel priem, dan is \(n_{i+2} = n_i-2 < n_i\) (in 2 stappen van het algoritme)

Als \(n_i\) priem is gaat hij de volgende stap 1 omhoog, maar direct daarna ALTIJD 3 omlaag,
dus na 2 stappen ALTIJD 2 omlaag.

...dus het aantal getallen in de rij is niet voorspelbaar ......... mee eens ?

Klopt: niet voorspelbaar (maar wel berekenbaar/bepaalbaar).

Maar alle rijen komen altijd in de eind lus 1/2/3/4/1 ....... omdat alle rijen naar 1 gaan
Vanaf 6 (inclusief) eindigen de rijen altijd op 6/3/4/1 ... vooraleer ze in de lus 1/2/3/4/1 komen

Klopt: elk getal n>4 daalt af, en belandt tenslotte ergens in de 1->2->3->4->1 lus.

[Regor]

@RedCat,

Dank U,
De vorige reactie van U was duidelijk genoeg hoor .. op een paar details na.

U schreef:
"Klopt: niet voorspelbaar (maar wel berekenbaar/bepaalbaar)."
Niet voorspelbaar ................op basis van het startgetal (n0)
Wel berekenbaar / bepaalbaar ...............voor elk startgetal (n0) afzonderlijk / specifiek.

U schreef:
"Klopt: elk getal n>4 daalt af, en belandt tenslotte ergens in de 1->2->3->4->1 lus."
Elke rij leidt tot het cijfer / getal 1 ............. en nadien in de lus 1/2/3/4/1
Vanaf (n0) = 6 eindigen de rijen altijd op 6/3/4/1 ......... klopt ?

U schreef:
"Klopt: elk getal n>4 daalt af, en belandt tenslotte ergens in de 1->2->3->4->1 lus."
Mee oneens. Elk getal n>4 daal "uiteindelijk" af (anders kan hij niet leiden tot 1 ...... maar maakt minstens 1 sprong van (n+1)
........ en belandt tenslotte "ergens" in de 1/2/2/4 lus ........ NIET ergens , maar enkel op het einde.

[Gast135711]

Dit is een zinloze bezigheid, vergelijk dit met algoritme -2 als n is element van N

[Regor]

@Gast135711 ... U bedoelt wellicht Gast235711

Graag klaar en duidelijk verduidelijking met wat U bedoelt .
Het is misschien een zinloze bezigheid.... maar waarom reageert U dan ?
Het is maar een hobby, zoals die van U.

[Gast135711]

De rij -2 gaat trager maar beslist naar minimum van N

[Regor]

@Gast135711

Maak duidelijk wat U bedoelt.
Als U er een rebus van maakt, geen interesse !

[Gast135711]

Als uw rij altijd kleiner is dan mijn rij en mijn rij gaat beslist naar minimum, dan moet uw rij dat ook doen.

[Regor]

@Gast 135711

Wilt U stoppen aub om in raadsels te spreken !

[Gast135711]

Aantal stappen?
Stel begin bij een n is even.
Aantal stappen van uw-rij is k, k≈(n)/(3-4/ln(n))≈n/3. Eigenlijk is k=(n-1+4.P(n))/3
Aantal stappen van -2 rij k/2

[Gast135711]

RECTIFICATIE!!!

Aantal stappen?
Stel begin bij een n is even.
Aantal stappen van uw-rij is k, k≈(n)/(3-4/ln(n))≈n/3. Eigenlijk is k=(n-1+4.P(n))/3
Aantal stappen van -2 rij k=n/2

[Regor]

@Gast135711

Ik laat mij dan toch verleiden om met u te communiceren, al is het tegen mijn goesting Fermat (neem ik aan)

1. Steunt U zich op de formule voor het "benaderende" aantal priems kleiner dan "n" ?
2. Wat is "P" in uw "juiste" formule ?........ het "exacte" aantal priems kleiner dan "n" ?