(wereld)bol vol leggen met 6kantige tegeltjes

[HansH]

Ik zit al een tijdje na te denken over het volgende probleem:
Bestrating met 6 kantige tegeltjes ziet er mooi uit en levert een mooi vlak aansluitend geheel zolang het in een niet gekromd vlak ligt.

Maar als je die tegeltjes op een bol zou leggen dan past het niet meer omdat je dan minder dan 6 hoeken nodig hebt om het aansluitend te krijgen, zie bv de combinatie van 6 en 5 kantjes in een voetbal.

Maar stel nu dat ik die bol heel groot maak tov de grootte van de tegeltjes. Dan lijkt het lokaal steeds beter op een plat vlak.
maar kan ik dan over zo'n hele bol de 6 kantige tegeltjes gelijkmatig neerleggen met bij elk tegeltje een verwaarloosbaar aansluitingsfoutje of lukt dat niet en tellen alle fouten op zodat het op een gegeven moment niet meer passend te krijgen is?

[wnvl1]

In bolgeometrie is de som van de hoeken van een zeshoek groter dan in de vlakke meetkunde:

\begin{equation}
\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 + \alpha_5 + \alpha_6 = 4\pi + E
\end{equation}

waar \(E\) het sferisch exces is.

Dit exces hangt samen met de oppervlakte \(A\) van de zeshoek op een bol met straal \(R\):

\begin{equation}
E = \frac{A}{R^2}
\end{equation}

Hierbij is \(A\) de oppervlakte van één tegeltje en \(R\) de straal van de aarde. Met deze formule kan je het exces van elk tegeltje berekenen.

Het exces gaat in de praktijk zeer klein zijn. Dat betekent dat je de aarde zonder problemen kan betegelen met zulke zeshoeken: rond elk steentje zit er wel een kleine afwijking, maar die is verwaarloosbaar.

[HansH]

Maar de orientatie van de tegeltjes zal ook moeten varieren, Dus hoe ziet het er lokaal dan uit als alles netjes verdeeld is over de hele bol?
Stel dat ik bv een bol heb van 10 meter diameter en tegeltjes van 10cm diameter. Kun je dan tekenen hoe bv 7 tegeltjes dan komen te liggen?

[vijv]

In bolgeometrie is de som van de hoeken van een zeshoek groter dan in de vlakke meetkunde:

\begin{equation}
\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 + \alpha_5 + \alpha_6 = 4\pi + E
\end{equation}

waar \(E\) het sferisch exces is.

Dit exces hangt samen met de oppervlakte \(A\) van de zeshoek op een bol met straal \(R\):

\begin{equation}
E = \frac{A}{R^2}
\end{equation}

Hierbij is \(A\) de oppervlakte van één tegeltje en \(R\) de straal van de aarde. Met deze formule kan je het exces van elk tegeltje berekenen.

Het exces gaat in de praktijk zeer klein zijn. Dat betekent dat je de aarde zonder problemen kan betegelen met zulke zeshoeken: rond elk steentje zit er wel een kleine afwijking, maar die is verwaarloosbaar.

mooi antwoord van onze sinds kort tegelexpert

[HansH]

waar ik nog een beetje mee zit is dat je een vervorming krijgt maar om die vervorming regelmatig te krijgen en zelfde voor alle tegeltjes dan moet er iets gebeuren waardoor het geen 6 hoek meer is. Dus ik geloof het pas als iemand het kan tekenen.

[wnvl1]

Maar als je die tegeltjes op een bol zou leggen dan past het niet meer omdat je dan minder dan 6 hoeken nodig hebt om het aansluitend te krijgen, zie bv de combinatie van 6 en 5 kantjes in een voetbal.

Een voetbal is natuurlijjk iets anders want dan staan de zeshoekjes ook bol.

[wnvl1]

Je gaat spleten moeten laten tussen de zeshoeken ofwel de zeshoeken wat vervormen. Ik kan dat niet zomaar tekenen, dat is heel wat puzzelwerk. Dit soort van meetkundige problemen is ook niet direct mijn eerste interesse of specialiteit. Misschien kan AI helpen met de tekening?

[HansH]

Je gaat spleten moeten laten tussen de zeshoeken ofwel de zeshoeken wat vervormen. Ik kan dat niet zomaar tekenen, dat is heel wat puzzelwerk. Dit soort van meetkundige problemen is ook niet direct mijn eerste interesse of specialiteit. Misschien kan AI helpen met de tekening?

AI zegt:
'Het is wiskundig onmogelijk om een bol volledig en uitsluitend met regelmatige zeshoeken te bedekken.
Zeshoeken zijn "vlakvullend"; wanneer drie zeshoeken in één punt samenkomen, vormen ze een perfect plat vlak (3 x 120 graden = 360 graden). Om een kromming te krijgen die een bol vormt, heb je een "tekort" aan graden nodig in de hoekpunten.'

[wnvl1]

chatgpt: Na te kijken of dit correct is.

Beschouw een bol die benaderd wordt met \(100\) regelmatige zeshoeken.
Aangezien een perfecte betegeling met enkel zeshoeken op een bol niet mogelijk is,
wordt de noodzakelijke kromming verdeeld over kleine spleten.

Werk deze benadering uit en bepaal de grootte van de spleten wanneer de kromming
gelijkmatig verdeeld wordt over alle zeshoeken.

Oplossing:

We beschouwen een bol die benaderd wordt met \(N = 100\) zeshoeken.
In het vlak hebben regelmatige zeshoeken geen intrinsieke kromming,
dus wanneer we ze op een bol proberen te leggen, moet de volledige kromming
van de bol ergens anders worden ondergebracht.

De totale Gauss-kromming van een bol wordt gegeven door:
\[
\int K \, dA = 4\pi
\]

Omdat de zeshoeken zelf geen kromming bijdragen, moet deze totale kromming
van \(4\pi\) verdeeld worden over kleine defecten of spleten in de structuur.

We kiezen ervoor om deze kromming gelijkmatig te verdelen over alle
\(N = 100\) zeshoeken. Dit betekent dat elke zeshoek een klein hoekdeficit draagt
dat gegeven wordt door:
\[
\delta \theta = \frac{4\pi}{N} = \frac{4\pi}{100} = 0.04\pi
\]

Numeriek komt dit overeen met:
\[
\delta \theta \approx 0.126 \text{ rad} \approx 7.2^\circ
\]

Dit betekent dat rond elke zeshoek een kleine opening of spleet aanwezig is
die overeenkomt met een hoektekort van ongeveer \(7.2^\circ\).

Om dit om te zetten naar een lineaire spleetbreedte, nemen we aan dat de
zeshoeken een zijde \(a\) hebben. Voor kleine hoeken kan de spleetbreedte
\(s\) benaderd worden door:
\[
s \approx a \cdot \delta \theta
\]

Invullen geeft:
\[
s \approx a \cdot 0.126
\]

Dit betekent dat de typische spleetbreedte ongeveer \(12.6\%\) van de zijde
van een zeshoek bedraagt.

Als we bijvoorbeeld \(a = 1\,\text{cm}\) nemen, dan volgt:
\[
s \approx 0.126\,\text{cm} \approx 1.26\,\text{mm}
\]

[HansH]

ik heb altijd moeite met dit soort uitleg om te zien wat er nu exact bedoelt wordt:
daarom is een schetsje veel handiger.
'rond elke zeshoek een kleine opening of spleet aanwezig is
die overeenkomt met een hoektekort van ongeveer
7.2 graden'
waar zit die spleet dan precies?

[HansH]

een cirkel kun je krom maken door er een stukje taartpunt uit te knippen en de eindjes weer aan elkaar te plakken.
is dat wat je bedoelt? dus dan heb je het over een vorm die een onregerlmatige 6 hoek wordt omdat 1 van de zijden dan korter is geworden. Maar dan nog steeds is de vraag hoe je die stukken dn aan elkaar plakt. als AI het allemaal zo goed weet dan zou Ai je ook een schets moeten kunnen geven hoe het eruit ziet.

[wnvl1]

ik heb altijd moeite met dit soort uitleg om te zien wat er nu exact bedoelt wordt:
daarom is een schetsje veel handiger.
'rond elke zeshoek een kleine opening of spleet aanwezig is
die overeenkomt met een hoektekort van ongeveer
7.2 graden'
waar zit die spleet dan precies?

Dat weet ik ook niet zomaar. Dat is heel wat puzzelwerk om tot een optimale configuratie te komen. Dat zal een ieteratief algoritme zijn. Ik denk niet dat je dat rechtoe zomaar kan berekenen.

[wnvl1]

een cirkel kun je krom maken door er een stukje taartpunt uit te knippen en de eindjes weer aan elkaar te plakken.
is dat wat je bedoelt? dus dan heb je het over een vorm die een onregerlmatige 6 hoek wordt omdat 1 van de zijden dan korter is geworden. Maar dan nog steeds is de vraag hoe je die stukken dn aan elkaar plakt. als AI het allemaal zo goed weet dan zou Ai je ook een schets moeten kunnen geven hoe het eruit ziet.

Bedoeling is dat je de tegels recht houdt. Niet dat je de tegels gaat krommen. Bij een eerste poging geeft AI geen figuur.

[HansH]

een cirkel kun je krom maken door er een stukje taartpunt uit te knippen en de eindjes weer aan elkaar te plakken.
is dat wat je bedoelt? dus dan heb je het over een vorm die een onregerlmatige 6 hoek wordt omdat 1 van de zijden dan korter is geworden. Maar dan nog steeds is de vraag hoe je die stukken dn aan elkaar plakt. als AI het allemaal zo goed weet dan zou Ai je ook een schets moeten kunnen geven hoe het eruit ziet.

Bedoeling is dat je de tegels recht houdt. Niet dat je de tegels gaat krommen. Bij een eerste poging geeft AI geen figuur.

als je de tegels symmetrisch gaat aanpasen dan blijven het perfecte symmetrische 6 hoeken dus los je daarmee het probleem niet op.
Ik stel natuurlijk niet voor niets deze vraag. Als het makkelijk was dan had ik zelf die schets al gepost.

[HansH]

Dat weet ik ook niet zomaar. Dat is heel wat puzzelwerk om tot een optimale configuratie te komen. Dat zal een ieteratief algoritme zijn. Ik denk niet dat je dat rechtoe zomaar kan berekenen.

Wordt denk ik wat knip en plakwerk met een voetbal en 6-kantjes. Je zou kunnen beginnen met het oppervlak van de bol in vlakke toestend te beleggen met 6 kantjes dan weet je in ieder geval hoeveel er maximaal op zouden passen. en dan is het een kwestie van zoeken naar een systematiche overlap per 6kantje.