differentieer f(x)=x^x

[Jerome]

Hoe differentieer je f(x)=x^x?

Ik heb oa de volgende drie regels geleerd:

1. kettingregel

2. f(x)=x^n --> f'(x)=n*x^(n-1)

3. f(x)=g^x --> f'(x)=g^x*ln(g)

maar hoe moet ik deze regels toepassen?

[TD]

Je kan dit doen dmv 'logaritmisch differentiëren'.

\(\left( {x^x } \right)^\prime = \left( {\exp \ln x^x } \right)^\prime = \exp \left( {\ln x^x } \right) \cdot \left( {x\ln x} \right)^\prime = x^x \left( {\ln x + 1} \right)\)

[Bert F]

ik geraak makkelijk van 1 naar 2 maar hoe geraak je van 2 naar 3?

[Brihaspati]

Wat betekent de afkorting

\({\exp\)

?

[Rogier]

Wat betekent de afkorting

\({\exp\)

?

exp(x) = e^x, dat heet "de exponentiële functie". e is een speciaal getal (ook wel "het natuurlijke grondtal" genaamd) zodanig dat de afgeleide van e^x weer e^x is.

Zie ook

[Math]

ik geraak makkelijk van 1 naar 2 maar hoe geraak je van 2 naar 3?

ln(x^x)' =ln(u)' u' met u = (x^x)

(xln(x))'= 1/u u'

lnx + 1 = 1/u u'

u'= x^x(lnx+1)

Zie ook: hier

[Pongping]

x^x is een transcendente functie dus die je niet "normaal" analyseren. Probeer maar nulpunten te vinden... dat kan alleen numeriek.

[Math]

x^x is een transcendente functie dus die je niet "normaal" analyseren. Probeer maar nulpunten te vinden... dat kan alleen numeriek.

En dit is het antwoord op welke vraag? Of slechts een "mededeling"? [wortel]

[TD]

x^x is een transcendente functie dus die je niet "normaal" analyseren. Probeer maar nulpunten te vinden... dat kan alleen numeriek.

Goniometrische functies zijn ook transcendent, maar van sin(x) kan ik perfect de nulpunten bepalen. Het ging hier ook niet om nulpunten, maar de afgeleide - en die is wel exact te berekenen. Het hangt er dus van af wat jij hier bedoelt met 'analyseren'; differentiëren kan dus al wel, primitiveren bijvoorbeeld niet.

[Jerome]

Ik begreep eerst niet alle stappen, maar nadat ik het zelf eens heb uitgeschreven werd het mij helemaal duidelijk. Iedereen bedankt.

Code: Selecteer alles

f(x)=x^x=e^(ln(x^x))=e^(x*ln(x))

[e^u]'=e^u*u' met u=x*ln(x)

[e^(x*ln(x))]'= e(x*ln(x))*[x*ln(x)]'

[x*ln(x)]'=x*[ln(x)]'+[x]'*ln(x)

=x*(1/x)+1*ln(x)

=x*(1/x)+ln(x)

=x/x+ln(x)

=1+ln(x)

f'(x)=x^x*(1+ln(x))

[carbis]

"exp" is veel algemener dan de "e^macht"doen", het is in ieder geval een/de (?) afbeelding van de lie-algebra van een liegroep ("groepsoperatie is differentieerbaar") naar de liegroep zelf, misschien is het ook wel bij liegroupoiden, weet iemand daar meer over?